Enunciado

O eixo de aço A-36 é composto por dois segmentos: A C , com diâmetro de 10   m m e C B , com diâmetro de 20   m m . Se o eixo estiver engastado em suas extremidades A e B e for submetido a um torque distribuído uniforme de 300   N . m / m ao longo do segmento C B , determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

O enunciado pede que encontremos o torque nos apoios A e C e a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. Ele nos dá as seguintes informações:

Aço A-36, portanto G = 75 ⋅ 10 9   P a

d A C = 10   m m = 0,0 1   m

d C B = 20   m m = 0,0 2   m

t = 300   N ⋅ m / m

Vamos construir o nosso diagrama de corpo livre:

Fazendo o somatório das forças, temos:

↺ + ∑ M = 0

T - T A - T B = 0

T B = T - T A

O valor do carregamento aplicado na seção C B é 300   N ⋅ m / m , podemos então encontrar o valor do torque que atua na metade do segmento. Calculamos usando a área do retângulo, b a s e ⋅ a l t u r a :

T = 0,4 ⋅ 300 = 120   N ⋅ m

Passo 2

Fazemos então um corte no segmento C B , a uma distância x de B . Como o torque é distribuído linearmente por todo esse segmento, então podemos calcular T x , multiplicando t pela distância x :

T x = 300 x

Passo 3

Como o eixo está fixo nas duas extremidades, sabemos que o ângulo de B em relação a A vai ser nulo.

ϕ A / B = 0

Como a região onde o ângulo é zero fica no segmento C B , o torque T A vai provocar um ângulo de torção tanto no segmento A C , quanto no segmento A B . Portanto, temos:

T A L A C J A C G + T C L C B J C B G - ∫ 0 1 , 4 T x d x J C B G = 0

Sendo que o momento polar de inercia, J, é dado por:

J = π 2 c 4

Substituindo:

2 ⋅ 0 , 1 T A π ⋅ 0 , 005 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9 + 2 ⋅ 0,4 T A π ⋅ 0,0 1 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9 - ∫ 0 0,4 2 ⋅ 300 x π ⋅ 0,01 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9 d x = 0

0,00169765 T A = 0,02037184

T A = 12   N ⋅ m

Substituindo na expressão que encontramos fazendo o somatório dos momentos:

T B = T - T A

T B = 120 - 12

T B = 108   N ⋅ m

Passo 4

A tensão máxima vai ocorrer no segmento C B , que é o segmento do carregamento. Logo:

τ m á x = T B c C B J C B

τ m á x = 2 ⋅ 108 π ⋅ 0,01 3

τ m á x = 68,755   M P a

Resposta

τ m á x = 68,755   M P a

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