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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 36

Para o sistema eixo-engrenagem do Prob. 3.33, determinar: (a) o máximo valor permissível de T, se o ângulo de torção entre C e D não exceder a 0,75 ° ; (b) o correspondente valor do ângulo de torção, com que gira a extremidade A.

Passo 1

Calculando inicialmente os torques. Vamos analizar as interações entre as engrenagens B e C.

F = T A B r B = T C D r C → T C D = r C r B T A B

O que queremos é T A B , mas temos do enunciado que ϕ C D = 0,75 ° = 0,0 13   r a d

T C D = 250 100 T A B = 2,5 T A B

Passo 2

Vamos fazer aí o passo a passo desse movimento. Primeiramente, girando CD

c = 1 2 d = 0,03 m

L = 1,25   m

G = 77 × 10 9   P a

Calculando o momento de inércia

J = π 2 c 4 = π 2 0,03 4 = 1,27234 × 10 - 6   m 4

O ângulo de rotação em CD por conta desse torque será de

ϕ C D = T C D L G J → T C D 1,25 77 × 10 9 1,27234 × 10 - 6 = 0,013   r a d  

T C D = 1025,9   N . m

Logo,

T C D = 2,5 T A B

1025,9 2,5 = T A B = 410,37   N . m

Passo 3

Temos a relação entre os raios e o ângulo de rotação da engrenagens como sendo

r c ϕ c = r B ϕ B

ϕ B = r C r B ϕ C = 250 100 0,013 = 0,0325   r a d

Passo 4

Agora vamos analizar o intervalo AB

c = 1 2 d = 0,02 m

L = 1,75   m

G = 77 × 10 9   P a

Calculando o momento de inércia

J = π 2 c 4 = π 2 0,03 4 = 2,5133 × 10 - 7   m 4

O ângulo de rotação em CD por conta desse torque será de

ϕ A B = T A B L G J = 410,37 1,75 77 × 10 9 2,5133 × 10 - 7 = 0,0371 r a d  

Passo 5

Pra concluir vamos ter então que o ângulo de rotação em A será

ϕ A = ϕ B + ϕ A B = 0,0325 + 0,0371

ϕ A = 0,0696   r a d

ϕ A = 4 °

Resposta

a )   T A B = 410,37   N . m

b )   ϕ A = 4 °

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