Os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de 25   m m e ambos estão apoiados em mancais em A , B e C que permitem livre rotação. Se o apoio em D for fixo, determine o ângulo de torção da extremidade A quando os torques são aplicados ao conjunto como mostra a figura.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem?

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

d = 25   m m

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9 P a

Começaremos fazendo uma análise da figura: o eixo D E está apoiado por um mancal em C . Se a engrenagem G gira no sentido anti-horário, consequentemente a engrenagem F também, e podemos observar que T G = T F , afinal os apoios no eixo D E permitem que ele rotacione e , portanto, não geram torque de reação e além disso não há outros torques nesse eixo.

Como resultado do movimento de F no sentindo anti-horário, a engrenagem E vai girar no sentido horário, portanto oposto ao torque T H .

Queremos descobrir o ângulo de torção em A . Como em D temos um engaste, o ângulo ali é zero. Então para determinar o ângulo absoluto, vamos analisar os ângulos de D até A . Aí nosso ângulo em A vai ser a soma dos ângulos das seções G F (que depende do eixo de D ) e G A .

Vamos achar esses carinhas!

Passo 2

Vamos achar o torque no eixo E H , temos que para um torque qualquer

T = F ⋅ R

F = T R

Em que R é o raio da engrenagem e F a força que gera o torque.

Sabendo que a força atuando nas engrenagens é a mesma e fazendo uma relação entre as engrenagens E e F , sabendo que R E é o raio da engrenagem em E e R F da engrenagem em F , temos:

T E H R E = T F R F → T E H = T F ⋅ R E R F = 60 ⋅ 0.15 0.1

T E H = 90   N ⋅ m

Fazendo o somatório dos momentos torsores, descobrimos o valor do torque T D H :

∑ M x = 0

T D H = 120 - 90

T D H = 30   N ⋅ m

Passo 3

Vamos agora calcular o ângulo de torção em F . E para isso, vamos achar o ângulo em E .

Já descobrimos os torques, seus sentidos de ação e a forma como conjunto vai funcionar.

Portanto, podemos notar que ϕ E   vai ser determinado pelo ângulo de torção no eixo E H menos o ângulo de torção no eixo D H (ângulos em sentidos opostos, porque tem torques de sentidos opostos).

A fórmula do ângulo causado pelo torque para uma seção é:

ϕ = T L J G

Onde T é o torque e L o comprimento da seção. Nosso ângulo em E fica:

ϕ E = T E H L E H J G a ç o - T D H L D H J G a ç o

O momento polar de inércia, J , é dado por:

J = π 2 ⋅ ( c 4 )

Onde c é o raio do eixo em questão. Ficamos então:

ϕ E = 2 ⋅ ( T E H L E H - T D H L D H ) π ⋅ c 4 ⋅ G a ç o

ϕ E = 2 ⋅ ( 90 ⋅ 0,75 - 30 ⋅ 0,25 ) π ⋅ c 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9

ϕ E = 0,0208607   r a d

Passo 4

Vamos para ângulo ϕ F . Podemos encontra-lo fazendo:

ϕ F ⋅ R F = ϕ E ⋅ R E

Isso porque nossas engrenagens estão em contato.

ϕ F = 0,0208607 ⋅ 0,15 0,1

ϕ F = 0,03129105   r a d

Passo 5

Após encontrar ϕ F e tendo em vista que sabemos o valor de T G , determinaremos o valor de ϕ A fazendo a soma de ϕ F e ϕ G (que estão no mesmo sentido).

Calculando ϕ G :

ϕ G = 2 ⋅ T G L F G π ⋅ c 4 ⋅ G a ç o

ϕ G = 2 ⋅ 60 ⋅ 0,25 π ⋅ 0,0125 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9

ϕ G = 0,00521519   r a d

Agora podemos obter ϕ A somando:

ϕ A = ϕ F + ϕ G

ϕ A = 0,03129105 + 0,00521519

ϕ A = 0,036506239   r a d

Convertendo para graus:

ϕ B = 0,036506239   r a d ⋅ 180 ° π

ϕ B = 2,092 °

Resposta

ϕ B = 2,092 °

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