Dois sinais de trânsito estão presos, em intervalos iguais, ao cabo de sustentação de 10,8   m de comprimento, como mostrado. Determine os ângulos α , β e γ da configuração de equilíbrio, bem como a força trativa em cada segmento de cabo.

Passo 1

Cada um dos três pedaços do cabo terá sua própria tração, então temos T A B , T B C e T C D . Além dessas três forças, temos os pesos dos dois semáforos:

P B = 50 9,81 = 490,5   N

P C = 100 9,81 = 981   N

O jeito mais fácil de resolver essa questão é considerar as condições de equilíbrio dos pontos B e C .

As forças que agem no ponto B são as seguintes:

∑ F → B = P → B + T → A B + T → B C

E no ponto C são as seguintes:

∑ F → C = P → + T → B C + T → C D

Cada uma dessas equações vão dar origem a um sistema de duas equações!

Passo 2

Começamos com o ponto B . Vamos projetar a equação nos dois eixos:

∑ F B y = - P B + T A B sen ⁡ α - T B C sen ⁡ β = 0

∑ F B x = - T A B cos ⁡ α + T B C cos ⁡ β = 0

E então o sistema é o seguinte:

T A B sen ⁡ α - T B C sen ⁡ β = 490,5 - T A B cos ⁡ α + T B C cos ⁡ β = 0

E agora fazemos a mesma coisa com o ponto B :

∑ F C y = T B C sen ⁡ β + T C D sen ⁡ γ - P C = 0

∑ F C x = - T B C cos ⁡ β + T C D cos ⁡ γ = 0

E então o sistema é o seguinte:

T B C sen ⁡ β + T C D sen ⁡ γ = 981 - T B C cos ⁡ β + T C D cos ⁡ γ = 0

Passo 3

Agora juntamos todas as informações:

T A B sen ⁡ α - T B C sen ⁡ β = 490,5 - T A B cos ⁡ α + T B C cos ⁡ β = 0

T B C sen ⁡ β + T C D sen ⁡ γ = 981 - T B C cos ⁡ β + T C D cos ⁡ γ = 0

Por enquanto temos seis variáveis e apenas quatro equações, precisamos montar mais duas. Dê uma olhada na imagem para perceber alguns detalhes geométricos:

3,6 cos ⁡ α + 3,6 cos ⁡ β + 3,6 cos ⁡ γ = 10,5

3,6 sen ⁡ α + 3,6 sen ⁡ β = 3,6 sen ⁡ α

Essa segunda equação pode ser mais dificíl de entender, mas é só notar que as “alturas” A C - e A D - são iguais.

Passo 4

Agora sim, temos seis variáveis e seis equações. Lembre que esse é um problema feito para ser resolvido no computador, então vamos resolver essse sistema numericamente:

T A B sen ⁡ α - T B C sen ⁡ β = 490,5 - T A B cos ⁡ α + T B C cos ⁡ β = 0 T B C sen ⁡ β + T C D sen ⁡ γ = 981 - T B C cos ⁡ β + T C D cos ⁡ γ = 0 3,6 cos ⁡ α + 3,6 cos ⁡ β + 3,6 cos ⁡ γ = 10,5 sen ⁡ α + sen ⁡ β = sen ⁡ α

Resolvendo isso em algum programa encontramos o seguinte:

α = 14,44 °

β = 3,57 °

γ = 18,16 °

E substituindo isso em três das quatro primeiras equações, encontramos:

T A B = 2600   N

T B C = 2523   N

T C D = 2643   N

Resposta

Os ângulos são α = 14,44 ° , β = 3,57 ° e γ = 18,16 ° . As forças são T A B = 2600   N , T B C = 2523   N e T C D = 2643   N .

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