Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 44
Duas barras cilíndricas, uma feita de aço () e a outra de latão (), são ligadas em . A barra composta é engastada em , enquanto que existe uma folga de entre a extremidade e a parede vertical. Uma força de é então aplicada em , e uma de em , ambas horizontais e dirigidas para a direita (como mostrado na Fig. P2.38). Determinar (a) as reações em e ; (b) a deflexão no ponto . Resolva este problema assumindo que a barra é feita de latão e a barra de aço.
Passo 1
Estamos diante de um problema estaticamente indeterminado, logo a solução através apenas das forças é impossível, por isso que vamos ter de utilizar as equações de deslocamento também.
Então o nosso objetivo aqui é utilizar o somatório das forças na horizontal e o deslocamento da barra para acharmos, tanto as forças de reação quanto as deflexões, porém observe que existe um espaço de para a barra se mover, logo .
Passo 2
Fazer o diagrama de corpo livre da barra, de modo a achar uma equação com as forças de reação:
Onde e são as reações de apoio que a barra sofre. Lembrando que estes sentidos sempre serão arbitrários, caso estejam corretos, ao final do exercício iremos achar valores positivos, caso estejam errados acharemos valores negativos.
Como a barra está estática podemos afirmar que:
Lembrando que é sempre importante decidir um sentido positivo e carrega-lo até o fim do exercício! Aqui vamos escolher o sentido que aponta para a direita como positivo.
Passo 3
Como vimos o problema está estaticamente indeterminado e precisamos achar uma outra equação para podermos achar as reações e . Essa outra equação é a da deflexão.
Para o nosso caso temos 4 partes, ou 4 deltas (), então nossa equação fica da forma:
Nós temos quase todos os dados, temos o tamanho inicial , a área e o coeficiente de elasticidade . Porém, não temos as forças . Para achar essas forças temos que cortar cada pedaço (AB, BC, CD e DE) e ver quais forças estão aplicadas apenas nesse pedacinho cortado, como mostrado no próximo passo.
Passo 4
- Para o segmento AB:
- Para o segmento BC:
- Para o segmento CD
- Para o segmento DE
Então a força aplicada no segmento AB é igual a .
Repare que aqui, para que a força mantenha o corpo em equilíbrio ela deve ser igual a
Olha só como esse caso é idêntico ao anterior! Logo:
Neste caso para manter o equilíbrio
Aqui vale uma observação!
Neste caso fomos seccionando a barra da esquerda para a direita e repare que não apareceu, poderíamos fazer da direita para a esquerda também. Ainda mais, poderíamos pegar apenas a última parte da direita para a esquerda e o resto da esquerda para a direita.
Ou seja, o método de seccionar a barra não importa, o que importa é manter sempre os mesmos sentidos.
Passo 5
Agora vamos voltar para nossa equação do deslocamento e aplicar os valores, já que conhecemos todos agora (pelo menos em função de né!? Que é o que queremos)
Dividindo os dois lados da equação por
Juntando os termos
Passo 6
Agora substituímos na equação lá do passo 2:
Ambos os valores estão positivos, então os sentidos estipulados originalmente estavam corretos =)
E voilà a letra A morreu
Passo 7
Agora para responder a letra b basta aplicar a equação do deslocamento novamente, da seguinte forma.
É legal perceber que quando utilizamos a força em , o comprimento em , a área em e o módulo de elasticidade em , o nosso resultado aparece em .
Muitas vezes o resultado também será expresso em micrômetros
Resposta
a)
b)