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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas de Revisão - Ex. 164

Duas hastes, cada uma com massa m e comprimento L, são soldadas para formar o conjunto mostrado. Determine (a) a distância b para a qual a frequência de pequenas oscilações da montagem é máxima, (b) a frequência máxima correspondente.

Passo 1

O exercicio pede que a gente determine (a) a distância b para a qual a frequência de pequenas oscilações da montagem é máxima, (b) a frequência máxima correspondente

Posição 1 V 1 = 0

T 1 = 1 2 m v - C D 2 + m v - A B 2 + I → C D θ ˙ m 1 2 + I ~ A B θ ˙ m 2

v - C D = b θ ˙ m v - A B = L 2 θ ˙ m I ~ C D = I - A B = 1 12 m L 2

T 1 = 1 2 m b 2 + L 2 2 + 1 12 L 2 + 1 12 L 2 θ ˙ m 2 = m 2 b 2 + 5 L 2 12 θ ˙ m 2

Passo 2

Posição 2

V 2 = m g b 1 - c o s ⁡ θ m + m g L 2 1 - c o s ⁡ θ m

Pequenos ângulos

1 - c o s ⁡ θ m = 2 s i n 2 ⁡ θ m 2 = α θ m 2 2

V 2 = m g θ m 2 2 b + L 2 T 2 = 0

Conservação de energia T 1 + V 1 = T 2 + V 2

1 2 m b 2 + 5 12 L 2 θ ˙ m 2 + 0 = 0 + m g 2 b + L 2 θ m 2

θ ˙ m = ω n θ m ω n 2 = g b + L 2 b 2 + 5 12 L 2 (1)

Passo 3

(a) Distância b para máxima frequência

Máximo  ω n 2  quando  d ω n 2 d b = 0

d ω n 2 d b = b 2 + 5 12 ⋅ L 2 g - g b + L 2 ( 2 b ) b 2 + 5 12 L 2 2 = 0

- b 2 - L b + 5 12 L 2 = 0

b = - L ∓ L 2 + 20 12 L 2 2 = 0.316 L , 1.317 L

b = 0.316 L

Passo 4

(b) máxima frequência correspondente

Da eq (1) e a resposta da part (a)

ω n 2 = g [ 0.316 + 0.5 ] ( 0.316 ) 2 + 5 12 L = 1.580 g L

f n = ω n 2 π = 1.580 2 π g L = 0.200 g L H z

Resposta

(a)   b = 0.316 L

(b)   = 0.200 g L H z

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