As duas pequenas esferas, cada uma com massa m , estão conectadas por um cordão de comprimento 2 b (medido até os centros das esferas) e estão inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal lisa. Um projétil de massa m 0 com uma velocidade v 0 perpendicular ao cordão atinge-o no meio, provocando a deflexão mostrada na parte b da figura. Determine a velocidade v de m 0 quando as duas esferas quase entram em contato, com θ se aproximando de 90 ° como indicado na parte c da figura. Encontre também θ ˙ para essa condição.

Passo 1

Como há conservação da quantidade de movimento na direção x (mesma direção de v 0 ), temos:

Δ G x = 0

m 0 v + 2 m v - m 0 v 0 = 0

v = m 0 m 0 + 2 m v 0

Passo 2

Além disso, há conservação de energia mecânica, de modo que:

T 1 = T 2

pois nesse caso não há energia potencial. A energia cinética inicial é:

T 1 = 1 2 m 0 v 0 2

Para o cálculo da energia cinética final, há de se considerar que as duas esferas têm tanto a velocidade v (acompanhando o movimento do projétil) como também uma velocidade de rotação, de módulo r θ ˙ = b θ ˙ . Então:

T 2 = 1 2 m 0 v 2 + 2 1 2 m v 2 + b 2 θ ˙ 2

Passo 3

Portanto, fazendo-se T 1 = T 2 , obtemos:

1 2 m 0 v 0 2 = 1 2 m 0 v 2 + 2 1 2 m v 2 + b 2 θ ˙ 2

1 2 m 0 v 0 2 = 1 2 m 0 + 2 m v 2 + m b 2 θ ˙ 2

Lembre-se de que já sabemos a expressão de v e podemos substituir na equação acima:

1 2 m 0 v 0 2 = 1 2 m 0 + 2 m m 0 m 0 + 2 m v 0 2 + m b 2 θ ˙ 2

1 2 m 0 v 0 2 ( m 0 + 2 m ) = 1 2 m 0 2 v 0 2 + m b 2 θ ˙ 2 m 0 + 2 m

m 0 m v 0 2 = m b 2 θ ˙ 2 m 0 + 2 m

θ ˙ = v 0 b m 0 m 0 + 2 m

Resposta

v = m 0 m 0 + 2 m v 0

θ ˙ = v 0 b m 0 m 0 + 2 m

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