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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 84

As duas polias são fixadas juntas e são usadas para içar o cilindro de massa m. A fração k pode variar de quase zero a um. Derive uma expressão para a tensão T necessária para elevar o cilindro a uma velocidade constante se o coeficiente de atrito para o rolamento de raio r0 for µ, um valor pequeno o suficiente para permitir a substituição de μ por sinϕ, onde ϕ é o atrito ângulo. A massa da unidade de polia é m0. Avalie sua expressão para T se m = 50   k g , m 0 = 30   k g ,   r = 0.3   m ,   k = 1 2 ,   r 0 = 25   m m ,   e μ = 0.15

Passo 1

Primeiro, vamos substituir o peso e a tensão por dois sistemas de força-acoplamento atuando no ponto O

Enquanto os momentos que o peso da carga e da tensão T fazem sobre o ponto O são

M w = m g ⋅ k r                     ( 1 ) M T = T ⋅ r                                 ( 2 )

Passo 2

A seguir, desenharemos o diagrama de corpo livre do eixo

Para que o sistema esteja em equilíbrio, a força resultante deve ser vertical

Como malos resultante com o ângulo de força normal ϕ, podemos escrever a força de atrito F como

F = R s i n ⁡ ϕ

Vamos substituir sin ϕ por μ para obter

F = μ R (3)

Observe que, para levantar o peso, a polia deve girar no sentido horário, o que significa que a força de atrito irá girá-la na direção oposta e que o peso da polia menor também atua no rolamento

Passo 3

Equacionando a soma das forças no eixo y a zero, determinaremos a força de reação R

∑   F y   = 0 R   - m g - T - m 0 g = 0 R   = m + m 0 g + T                                                                       ( 4 )

Vamos igualar a soma dos momentos sobre o ponto O a zero

∑ M O = 0

- M W - F ⋅ r 0 + M T = 0

Vamos substituir MW, MT e F pelas expressões (1), (2) e (3), respectivamente

- m g ⋅ k r - μ R + T ⋅ r = 0

Substituiremos R pela expressão (4)

- m g + k r - μ m + m 0 g + T ⋅ r 0 + T ⋅ r = 0 - m g ⋅ k r - m + m 0 g ⋅ μ ⋅ r 0 - T ⋅ μ ⋅ r 0 + T ⋅ r = 0 - m g ⋅ k T - m + m 0 g ⋅ μ ⋅ r 0 + T r - μ ⋅ r 0 = 0

Expressão final para tensão T

T = m g ⋅ k r + m + m 0 g ⋅ μ ⋅ r 0 r - μ ⋅ r 0

Por fim, substituiremos m , m 0 , k , μ , r e r 0 por seus valores

T = 50 ⋅ 9.81 ⋅ 0.5 ⋅ 300 + 50 + 30 ⋅ 9.81 ⋅ 0.15 ⋅ 25 300 - 0.15 ⋅ 25  

T = 258.29 N

Resposta

T = m g ⋅ k r + m + m 0 g ⋅ μ ⋅ r 0 r - μ ⋅ r 0

T = 258.29 N

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