O eixo cônico é feito de liga de alumínio 2014-T6 e seu raio pode ser descrito pela função r = 0,02 ( 1 + x 3 / 2 )     m , onde x é dado em metros. Determine o ângulo de torção de sua extremidade A se ele for submetido a um torque de 450   N ⋅ m

Passo 1

A questão nos fornece os dados: T = 450   N ⋅ m ,   r = 0,02 1 + x 3 / 2   m ,   G = 27   G P a ,   L = 4   m e nos pede a deformação no ponto A: ϕ A =   ?

Para resolver a questão temos que aplicar a equação da deformação. Mas como a barra não é linear, a equação só é válida para deformações infinitesimais:

d ϕ = T G J d x

Passo 2

Na equação da deformação, apenas o torque e o coeficiente de cisalhamento são constantes. O momento de inércia é uma função de x porque o raio varia com a distância:

J = π 2 r 4 J = π 2 0,02 1 + x 3 / 2 4

Passo 3

Aplicamos agora a equação da deformação:

d ϕ = T G J d x

Substituímos nela a equação do momento de inércia:

d ϕ = T G ⋅ π 2 0,02 1 + x 3 / 2 4 d x d ϕ = 2 T G ⋅ π ⋅ 0,02 4 ⋅ d x 1 + x 3 / 2 4  

Agora integramos os dois lados. Os limites de integração são do ínicio ao fim do eixo:

∫ 0 ϕ A d ϕ = ∫ 0 L 2 T G ⋅ π ⋅ 0,02 4 ⋅ d x 1 + x 3 / 2 4

ϕ A = 2 T G ⋅ π ⋅ 0,02 4 ⋅ ∫ 0 4 d x 1 + x 3 / 2 4

ϕ A = 2 ⋅ 450 27 ⋅ 10 9 ⋅ π ⋅ 0,02 4 ⋅ ∫ 0 4 d x 1 + x 3 / 2 4

ϕ A = 0,066 ⋅ ∫ 0 4 d x 1 + x 3 / 2 4

Passo 4

A integral acima não é trivial, e é mais facilmente resolvida numericamente:

I =   ∫ 0 4 d x 1 + x 3 / 2 4

Usando a regra dos trapézios, com um passo de h = 0,25

I = h 2 ⋅ f x 0 + f x 16 ⋅ ∑ i = 1 15 f x n

I = 0,421

Passo 5

Aplicando o resultado na equação da deformação:

ϕ A = 0,066 ⋅ ∫ 0 4 d x 1 + x 3 / 2 4

ϕ A = 0,066 ⋅ 0,421

ϕ A = 0,02779

Resposta

ϕ A = 0,02779

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