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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 60

Os elementos de um sistema de controle da orientação angular com volantes de reação para uma nave espacial são apresentado na figura. Oponto G é o centro de massa para o sistema da nave espacial e dos volantes, e x,y,z são os eixos princiapais para o sistema. Cada volante possui umaa massa m e um momento de inercia l em relação a seu próprio a seu próprio eixo e gira com uma velocidade angular relativa p no sentido indicado.O centro de cada volante, quepode ser considerado como um disco fino, está a uma distância b a partir de G. Se a nave espacial possui componenetes de velocidade angular Ω x , Ω y   e   Ω z   determine a quantidade de movimento angular H G dos três volantes como uma unidade.

Passo 1

Informação importantes para a resolução do problema.

Momento de inercia de um disco fino I = m b 2

Ω = Ω x i ^ + Ω y j ^ + Ω z k ^

Se G é o centro de massa e os disco tem mesma massa então G está equidistante dos discos (a uma distância b de todos os discos)

Como o eixo x-y-z é o eixo principal o momento de inercia ficara igual a equação

7/13.

Passo 2

Agora nós teremos que decompor todos os movimentos de todos os disco, começaremos com os giros devido a Ω x e utilizando o princípio da superposição podemos somar todas as componentes devido a todos os discos e ela resultará na componente x do momento angular.

Disco 1

H 1 x = I ( Ω x + p )

Disco 2

H 2 x = ( I 2 + m b 2 ) Ω x

Disco 3

H 3 x = ( I 2 + m b 2 ) Ω x

Portanto a componente x do momento angular será H x = H 1 x + H 2 x + H 3 x

H x = I Ω x + p + I 2 + m b 2 Ω x + I 2 + m b 2 Ω x = I * p + 2 ( I + m b 2 ) Ω x

Para a componente y do problema nós teremos nós usaremos o artificio da simetria do problema, devido a o sistema ser simétrico em relação à os giros e também a o disco (discos iguais), devido a tudo isso os momentos angulares tem que ser iguais em modulo.

“para demonstrar o que eu disse pense em girar o volante de um carro, faz diferença na força o lado que você gira?”

∴   H y = I * p + 2 ( I + m b 2 ) Ω y e H z = I * p + 2 ( I + m b 2 ) Ω z

Enfim H G = H x i ^ + H y j ^ + H z k ^

H G = I p i ^ + j ^ + k ^ + 2 I + m b 2 * ( Ω x i ^ + Ω y j ^ + Ω z k ^ )

H G =   I p i ^ + j ^ + k ^ + 2 I + m b 2 * Ω

Resposta

H G =   I p i ^ + j ^ + k ^ + 2 I + m b 2 * Ω

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