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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas de Revisão - Ex. 160

Um eletroímã de 150 kg está em repouso e está segurando 100 "" kg de sucata de aço quando a corrente é desligada e o aço é descartado. Sabendo que o cabo e o guindaste de suporte têm uma rigidez total equivalente a uma mola constante de 200 k N / m , determine (a) a frequência, a amplitude e a velocidade máxima do movimento resultante, (b) a tensão mínima que ocorrerá no cabo durante o movimento, (c) a velocidade do ímã 0.03 s após a corrente ser desligada

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine (a) a frequência, a amplitude e a velocidade máxima do movimento resultante, (b) a tensão mínima que ocorrerá no cabo durante o movimento, (c) a velocidade do ímã 0.03 s após a corrente ser desligada

Dados

m 1 = 150 k g m 2 = 100 k g k = 200 × 10 3 N / m

Dos primeiros dois esboços

T 0 + k x m = m 1 + m 2 g (1)

T 0 = m 1 g (2)

Passo 2

Subtraindo eq(2) da (1)

k x m = m 2 g

x m = m 2 g k = ( 100 ) ( 9.81 ) 200 × 10 3 = 4.905 × 10 - 3 m = 4.91 m m

Frequência circular natural

ω n = k m 1 = 200 × 10 3 150 = 36.515 r a d / s

Frequência natural

f n = ω n 2 π = 36.515 2 π f n = 5.81 H z

Velocidade máxima

v m = ω n x m = ( 36.515 ) 4.905 × 10 - 3 = 0.1791 m / s

Passo 3

(a) movimento resultante

amplitude  x m = 4.91 m m

frequencia   f n = 5.81 H z

velocidade máxima v m = 0,1791 m / s

Passo 4

(b) valor máximo da tensão ocorre quando x = - x m

T min  = T 0 - k x m

= m 1 g - m 2 g = m 1 - m 2 g = ( 50 ) ( 9.81 )

T m i n = 491 N

O movimento é dado por

x = x m s i n ⁡ ω n t + φ x ˙ = ω n x m c o s ⁡ ω n t + φ

Inicialmente

x 0 = - x m   o r   s i n ⁡ φ = - 1 x ˙ 0 = 0   o r   c o s ⁡ φ = 0

φ = - π 2 x ˙ = ω n x m c o s ⁡ ω n t - π 2

Passo 5

(c) velocidade em t= 0.03s

ω n t = ( 36.515 ) ( 0.03 ) = 1.09545 r a d

ω n t - φ = - 0.47535 r a d

c o s ⁡ ω n t - φ = 0.88913

x ˙ = ( 36.515 ) 4.905 × 10 - 3 ( 0.88913 )

x ˙ = 0.1592 m / s ↑

Resposta

(a) amplitude  x m = 4.91 m m

frequencia   f n = 5.81 H z

velocidade máxima v m = 0,1791 m / s

(b)   T m i n = 491 N

(c)   x ˙ = 0.1592 m / s ↑

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