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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 28

Se a energia potencial para um sistema conservativo com um grau de liberdade é expressa pela relação ( V = 24 sen ⁡ θ + 10 cos ⁡ 2 θ )   J , 0 ≤ θ ≤ 90 º , determine as posições de equilíbrio e investigue a estabilidade em cada posição.

Passo 1

Dada a expressão para a energia potencial V = 24 sem ⁡ θ + 10 cos ⁡ 2 θ )   J , então a posição de equilíbrio é dada pela primeira derivada: d V d θ = 24 cos ⁡ θ - 10 × 2 × sen ⁡ 2 θ = 24 c o s θ - 20 s e n 2 θ = 0 24 c o s θ - 20 s e n 2 θ = 0 24 c o s θ - 20 × ( 2 ⋅ sen ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ ) = 0 c o s θ 24 - 40 s e n θ = 0 c o s θ = 0 ⇒ θ = 90 º s e n θ = 24 40 = 0,6 ⇒ θ = 36,86 º  

Passo 2

Agora analisaremos a estabilidade. Para a estabilidade, precisamos tomar a segunda derivada:

Para θ = 90 º :

d 2 V d θ 2 = - 24 s e n θ - 40 c o s 2 θ =   - 24   s e n θ - 40 1 - 2 s e n 2 θ d 2 V d θ 2 θ = 90 º = 80 sen 2 ⁡ 90 º - 24 s e n 90 º - 40 = 80 ⋅ 1 - 24 ⋅ 1 - 40 = 16 > 0 ⇒ e s t á v e l Para θ = 36,86 º :

d 2 V d θ 2 θ = 36,86 º = 80 sen 2 ⁡ 36,86 - 24 s e n 36,86 º - 40 = 80 ⋅ 0,36 - 24 ⋅ 0,6 - 40 = - 25,6 < 0 ⇒ i n s t á v e l

Resposta

Estável para θ = 90 º e instável para θ = 36,86 º

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