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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 47

A engrenagem de raio de 80 mm mostrada tem uma massa de 5 kg e um raio de giração centróide de 60 mm. A haste de 4 kg AB é presa ao centro da engrenagem e a um pino em B que desliza livremente em uma fenda vertical. Sabendo que o sistema é liberado do repouso quando θ = 60 ∘ , determine a velocidade do centro da engrenagem quando θ = 20 ∘ .

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade do centro da engrenagem quando θ = 20 ∘ .

Cinemática:

v A = v A ← v B = v B ↓

Passo 2

Ponto B é o centro instantâneo da haste AB:

ω A B = v A L c o s ⁡ θ

v B = ( L s i n ⁡ θ ) ω A B = v A t a n ⁡ θ

v G = L 2 ω A B = v A 2 c o s ⁡ θ

Passo 3

A engrenagem A efetivamente rola com deslizamento, com o ponto C sendo o ponto de contato: v C = 0

Velocidade angular da engrenagem: ω A = v A r

Energia potencial: Use o nível do centro da engrenagem como dado

V = - W A R L 2 c o s ⁡ θ = - 1 2 m A B g L c o s ⁡ θ

Energia Cinética:

T + = 1 2 m A v j 2 + 1 2 I A ω A 2 + 1 2 m A B v θ 2 + 1 2 I - A B ω A B 2

Passo 4

Massas e momentos de Inércia: m f = 5 k g , m A B = 4 k g

I A = m A k 2 = ( 5 ) ( 0.060 ) 2 = 0.018 k g ⋅ m 2

I - A B = 1 12 m A B L 2 = 1 12 ( 4 ) ( 0.320 ) 2 = 0.03413 k g ⋅ m 2

Conservação de energia:

T 3 + V 1 = T 2 + V 2

Passo 5

Posição 1: θ = 60 ∘

v A = 0         T 1 = 0

V 1 = - 1 2 ( 4 ) ( 9.81 ) ( 0.320 ) c o s ⁡ 60 ∘ = - 3.1392   j

Passo 6

Posição 2: θ = 20 ∘         v A = ?

T 2 = 1 2 ( 5 ) v A 2 + 1 2 ( 0.018 ) v A 0.080 2 + 1 2 ( 4 ) v 1 2 c o s ⁡ 20 ∘ 2 + 1 2 ( 0.03413 ) v A 0.320 c o s ⁡ 20 ∘ 2 = ( 2.5 + 1.40625 + 0.56624 + 0.18875 ) v A 2 = 4.66124 v A 2

V 2 = 1 2 ( 4 ) ( 9.81 ) ( 0.320 ) c o s ⁡ 20 ∘ = - 5.8998 J

Passo 7

Conservação de energia: T 1 + V 1 = T 2 + V 2

0 - 3.1392 = 4.66124 v A 2 - 5.8998

v A 2 = 0.59225 m 2 / s 2 v A = 0.770 m / s

v A = 0.770 m / s ←

Resposta

v A = 0.770 m / s ←

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