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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 71

SAbendo que o conjunto do Problema 18.65 está inicialmente em repouso ( ω = 0) quando um binário de momento M0 = (0,75 N ∙ m)j é aplicado ao eixo, determine (a) a aceleração angular resultante do conjunto, (b) as reações dinâmicas nos pontos A e B imediatamente após a aplicação do binário

Passo 1

O exercicio pede que a gente encontre a aceleração angular resultante do conjunto, (b) as reações dinâmicas nos pontos A e B imediatamente após a aplicação do binário.

Devemos usar Eqs. (18.1) e (18.28):

Σ F = m a -                 Σ M A = H ˙ A A x y z + Ω × H A

Cálculo de HA:

ω = ω j

H A = - I x y ω i + I y ω j - I y z ω k

I y area = 1 12 b 3 h ,                 A = 1 2 b h

I y massa = m A I y area = 1 6 m b 2

Passo 2

O produto da inércia do triângulo é

I x y area = 1 24 b 2 h 2

I x y massa = m A I x y area = 1 12 m b h

Uma vez que a coordenada z é insignificante,

I y z massa = 0

Assim,

H A = - 1 12 m b h ω i + 1 5 m b 2 ω j

Onde o quadro de referência Axyz gira com a placa com a velocidade angular

Ω = ω = ω j

Passo 3

Equações de movimento. Primeiro usamos a Eq. (18.28):

Σ = M A = H ˙ A A x y z + Ω × H A

Onde HA foi obtido na Eq. (1) do Problema 18.56:

H A = - 1 12 m b h ω i + 1 6 m b 2 ω j

Diferenciando em relação à estrutura rotativa:

H ˙ A A x y z = - 1 12 m b h α i + 1 6 m b 2 α j

Passo 4

Substituindo HA e ( H ˙ A)Axyz na Eq. (18.28), observando que ω = 0, e calculando a Σ MA do diagrama:

M 0 j + h j × B x i + B z k = - 1 12 m b h α i + 1 6 m b 2 α j + 0

M 0 j - h B x k + h B z i = - 1 12 m b h α i + 1 6 m b 2 α j

Equacionando os coeficientes dos vetores unitários:

j :                 M 0 = 1 6 m b 2 α                 α = 6 M 0 m b 2

α = 6 0.75  N ∙ m 2.5   kg 0.3   m 2 = 20.0   rad/ s 2

k :               - h B x = 0                 B x = 0

i :                 h B z = - 1 12 m b h α ,                 B z = - 1 12 m b α = - 1 12 2.5 0.3 20.0

B z = - 1.250   N

Passo 5

Devemos agora aplicar a Eq. (18,1):

Σ F = m a - :

Desde ω = 0 :

a - = a - t = α j × b 3 i = - 1 3 b α k

Substituindo na Eq. (12,1):

A + B = - 1 3 m b α k

A = - 1 3 m b α k - B = - 1 3 m b α k + 1 12 m b α k

A = - 1 4 m b α k = - 1 4 2.5   k g 0.3   m 20   rad/ s 2 k

Resposta

α = 20.0   rad/ s 2 j

B = - 1.250   N k

A = - 3.75 ∙   N k

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