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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 83

Uma esfera solida de aço com diâmetro de 152,4 mm é mergulhada no oceano, em um ponto onde a pressão é de 49 MPa (aproximadamente 4,8 km abaixo da superfície). Sabendo que E = 200   G P a   e   v = 0,30 , determine (a) a diminuição do diâmetro da esfera, (b) a diminuição no volume da esfera e (c) a porcentagem de aumento da densidade de esfera.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha? Espero que simmmm !! O enunciado pede para que a gente determine a diminuição do diâmetro da esfera, a diminuição no volume da esfera e a porcentagem de aumento da densidade de esfera...

Antes de mais nada devemos calcular o volume desta esfera

Para uma esfera sólida....

V 0 = π 6 d 0 3 V 0 = π 6   x   152,4 3 = 3870,96   m 3

Considerando que as tensões em todas direções é igual a –P, temos então que:

σ x = σ y = σ z = - P = - 49   x   10 6   P a

A deformação é dada por:

ε x = 1 E x   σ x - v σ y - v σ z = - 1 - 2 v P E = 0 , 3   x   - 49   x   10 6 2 00   x   10 9   = - 7,35   x   10 - 5

Da mesma forma, ε y = ε z = - 7,35   x   10 - 5 e = ε x + ε y + ε z = - 7,35   x   10 - 5

Passo 2

Agora sim gurizada podemos determinar a diminuição do diâmetro da esfera, a diminuição no volume da esfera e a porcentagem de aumento da densidade de esfera, vem comigo :D

  1. - ∆ d = - d 0 ε x = - 152,4     x   - 7,35   x   10 - 5 = 11,2   x   10 - 3 m .

  2. - ∆ V = - V 0 e = - 3870,96   x   - 7,35   x   10 - 5 = 284,51   x   10 - 3   m ³

m = ρ 0 V 0 = ρ V = ρ V 0   x   1 + e

ρ - ρ 0 ρ 0 = ρ ρ 0 - 1 = m V 0   x   1 + e x   V 0 m - 1 = 1 1 + e - 1

= 1 - e + e 2 - e 3 + … - 1 = - e + e 2 - e 3 + … ≈ - e = 293,79   x   10 - 6 ρ - ρ 0 ρ 0 x 100 % = 293,79   x   10 - 6   x   ( 100 % )  

Resposta

  1. - ∆ d = 11,2   x   10 - 3 m .
  2. - ∆ V = 284,51   x   10 - 3   m ³
  3. 0,0294   %
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