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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 87

Uma haste delgada é dobrada para formar uma moldura quadrada de 6 pol. A estrutura é fixada por um colar em A a um eixo vertical que gira com velocidade angular constante 0. Determine (a) o ângulo β que a linha AB forma com o eixo horizontal x quando ω = 9.8 r a d / s , (b) o maior valor de ω para o qual β = 90 ∘

Passo 1

O exercício pede que a gente determine a) o ângulo β que a linha AB forma com o eixo horizontal x quando ω = 9.8 r a d / s , (b) o maior valor de ω para o qual β = 90 ∘

Escolha os eixos principais x’, y’ e z’ com origem no ponto fixo A

I x ' = 2 m 4 1 12 a 2 + 2 m 4 a 2 2 = 1 6 m a 2 l z ' = 2 m 4 1 3 a 2 + m 4 ( a ) 2 = 5 12 m a 2 I y ' = I x ' + I z ' = 7 12 m a 2

Velocidade angular ω = - ω s i n ⁡ β i ' + ω c o s ⁡ β j '

Momento angular sobre A H A = - I x ' ω s i n ⁡ β i ' + I y ' ω c o s ⁡ β j ¨ '

Passo 2

Deixe a referência de Axyz rodar com velocidade angular Ω = ω

H ˙ A = H ˙ A A x y z + Ω × H A   = = 0 + ω × H A = - ω s i n ⁡ β i ' + ω c o s ⁡ β j '

× - I x ' ω s i n ⁡ β i ' + I y ' ω c o s ⁡ β j '

= - I y - I z ω 2 sin ⁡ β cos ⁡ β k = - 5 12 m a 2 ω 2 sin ⁡ β cos ⁡ β k

Σ M A = - m g a 2 c o s ⁡ β k = H ˙ A

g = 5 6 a ω 2 s i n ⁡ β

Passo 3

(a) s i n ⁡ β = 6 g 5 a ω 2

= ( 6 ) ( 32.2 ) ( 5 ) 1 2 ( 9.8 ) 2 = 0.80466

β = 53.6 ∘

Passo 4

(b) defina β = 90 ∘ , s i n ⁡ β = 1.0

ω 2 = 6 g 5 a = ( 6 ) ( 32.2 ) ( 5 ) 1 2 = 77.2 8

ω = 8.79 r a d / s

Resposta

( a )   β = 53.6 ∘

(b)   ω = 8.79 r a d / s

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