O estado plano de tensões mostrado ocorre em um componente estrutural feito de aço com σ e = 250   M P a . Usando o critério da máxima tensão de cisalhamento, determinar se o escoamento ocorre quando: (a) τ x y = 100   M P a ; (b) τ x y = 125   M P a ; (c) τ x y = 145   M P a .

Passo 1

Para resolver essa questão a primeira coisa e a mais importante é saber identificar corretamente as tensões normais e cisalhantes, neste caso será o seguinte:

σ x = - 20   M P a

σ y = - 80   M P a

A partir daí vamos calcular o Raio do ciclo de mohr e a tensão média para se obter as tensões máximas e mínimas.

Passo 2

Para letra A)

τ x y = 100   M P a

Vamos, também, achar a tensão média:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = - 80 - 20 2

σ m é d = - 50   M P a

Passo 3

Vamos achar o raio do ciclo de mohr fazendo:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

R = - 80 - ( - 20 ) 2 2 + 100 ²

R = 10900

R = 104,40   M P a

Passo 4

Agora vamos calcular as tensões normais máxima e mínima:

σ m á x = σ m é d + R

σ m á x = - 50 + 104,40 = 54,40   M P a

σ m í n = σ m é d - R

σ m í n = - 50 - 104,40 = - 154,40   M P a

Aplicando o critério da máxima tensão cisalhante da forma:

2 τ m á x = σ m á x - σ m í n

2 τ m á x = 54,40 - - 154,40 = 208,80   M P a

Como o resultado ( 208,80   M P a ) é inferior ao limite de escoamento ( σ e = 250   M P a ) não há escoamento.

Passo 5

Para letra B)

τ x y = 125   M P a

Vamos, também, achar a tensão média:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = - 80 - 20 2

σ m é d = - 50   M P a

Passo 6

Vamos achar o raio do ciclo de mohr fazendo:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

R = - 80 - ( - 20 ) 2 2 + 125 ²

R = 16525

R = 128,55   M P a

Passo 7

Agora vamos calcular as tensões normais máxima e mínima:

σ m á x = σ m é d + R

σ m á x = - 50 + 128,55 = 78,55   M P a

σ m í n = σ m é d - R

σ m í n = - 50 - 128,55 = - 178,55   M P a

Aplicando o critério da máxima tensão cisalhante da forma:

2 τ m á x = σ m á x - σ m í n

2 τ m á x = 78,55 - - 178,55 = 257,1   M P a

Como o resultado ( 257,1   M P a ) é superior ao limite de escoamento ( σ e = 250   M P a ) há escoamento.

Passo 8

Para letra C)

τ x y = 145   M P a

Vamos, também, achar a tensão média:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = - 80 - 20 2

σ m é d = - 50   M P a

Passo 9

Vamos achar o raio do ciclo de mohr fazendo:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

R = - 80 - ( - 20 ) 2 2 + 145 ²

R = 21925

R = 148   M P a

Passo 10

Agora vamos calcular as tensões normais máxima e mínima:

σ m á x = σ m é d + R

σ m á x = - 50 + 148 = 98   M P a

σ m í n = σ m é d - R

σ m í n = - 50 - 148 = - 198   M P a

Aplicando o critério da máxima tensão cisalhante da forma:

2 τ m á x = σ m á x - σ m í n

2 τ m á x = 98 - - 198 = 296   M P a

Como o resultado ( 296   M P a ) é superior ao limite de escoamento ( σ e = 250   M P a ) há escoamento.

Resposta

a) Como o resultado ( 208,80   M P a ) é inferior ao limite de escoamento ( σ e = 250   M P a ) não há escoamento.

b) Como o resultado ( 257,1   M P a ) é superior ao limite de escoamento ( σ e = 250   M P a ) há escoamento.

c) Como o resultado ( 296   M P a ) é superior ao limite de escoamento ( σ e = 250   M P a ) há escoamento.

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