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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 99

Expresse F → vetorialmente em termos dos vetores unitários i ^ , j ^ , k ^ . Determine o ângulo entre F → e o eixo y .

Passo 1

Muito cuidado aqui: as medidas que foram dadas na figura não são as componentes da força naquelas direções. Mas podemos usá-las para encontrar o vetor unitário naquela direção!

Vamos chamar esse vetor de u ^ :

u ^ = u → u →

A ideia aqui é que estamos tomando um vetor que tem exatamente aquelas dimensões ( 40 ,   50,110 ) e divindo pelo seu módulo, para achar o vetor unitário na mesma direção:

u ^ = 40   i ^ - 50   j ^ + 110   k ^ 40 2 + 50 2 + 110 2

u ^ = 0,314   i ^ - 0,393   j ^ + 0,864   k ^

E agora para encontrar o vetor F → é só multiplicar u ^ por 60   N :

F → = 60   u ^ = 18,8   i ^ - 23,6   j ^ + 51,9   k ^   N

Passo 2

E agora queremos o ângulo que o vetor F → forma com o eixo y . Podemos usar a definição do produto escalar para calcular isso:

F → ∙ y ^ = F y ^ cos ⁡ ( θ )

Vamos olhar primeiro para o lado esquerdo da equação, F → ∙ y ^ é a projeção de F → no eixo y , que nós já calculamos no passo acima:

F → ∙ y ^ = - 23,6   N

E olhando para o lado direito:

F y ^ cos ⁡ ( θ ) = ( 60 ) ( 1 ) ( cos ⁡ θ )

Então:

F → ∙ y ^ = F y ^ cos ⁡ ( θ )

- 23,6 = 60 cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = - 23,6 60 = - 0,393

θ = 113,1 °

Pronto!

Resposta

F → = 18,8   i ^ - 23,6   j ^ + 51,9   k ^   N e o ângulo que forma com o eixo y é θ = 113,1 ° .

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