Enunciado

As extremidades A e D de dois eixos maciços de aço, AB e CD, estão engastadas enquanto as extremidades B e C são conectadas por engrenagens, como indicado. Sabendo-se que um torque T de 4 kNm é aplicado na engrenagem B, determinar a máxima tensão de cisalhamento: (a) no eixo AB; (b) no eixo CD.

Passo 1

Como quase todas as questões de torção, vamos começar calculando os momentos de inércia dos eixos.

Passo 2

Agora vamos pensar um ponto na física do problema.

Um torque T é aplicado diretamente no ponto B. Mas ao contrário do que parece, nem todo o valor de T é transmitido para o eixo AB. Somente parte desse torque é transmitido para o eixo AB e outra parte é transmitida para o eixo CB. Como descobrir o quanto de torque foi para cada eixo?

A primeira coisa a se notar é que as duas extremidades A e D são engastadas. Logo esse é um sistema estático! Então vamos nos aproveitar das CONDIÇÕES ESTÁTICAS.

Agora vamos desenhar um diagrama de corpo livre de cada uma das engrenagens:

Na engrenagem B a questão nos diz que um torque T é aplicado nessa engrenagem. Essa é uma estrutura estática, então, como reação surgirá um torque que vamos chamar de chamar esse torque de T A B . E devido ao contato entre as duas engrenagens surge uma força F C B .

A engrenagem C sofre a força de contato vinda da engrenagem B, como reação surge um torque T C D na engrenagem C:

A gente já sabe que T = 4   k N , então se aplicarmos o somatório de momentos em cada uma das engrenagens teremos:

∑ T = 0 ⇒ 4 - T A B - F C B ⋅ 0,05 = 0 ∑ T = 0 ⇒ 4 - T C D - F C B ⋅ 0,02 = 0

Mas nesse sistema temos três incógnitas T A B ,   T C D e F C B e apenas duas equações. Ainda não dá para resolver.

Passo 3

Para resolver esse sistema vamos precisar de mais uma equação. Quando estamos trabalhando com engrenagens devemos considerar as CONDIÇÕES CINEMÁTICAS.

Esta condição diz que o ângulo de torção de duas engrenagens acopladas é proporcional da seguinte forma:

r B ϕ B = r c ϕ C

A deformação das engrenagens é desprezível, então as deformações ϕ B e ϕ C são as deformações das barras AB e CD.

Então, vamos aplicar a equação do ângulo de torção:

r B ⋅ T A B L A B J A B G = r c ⋅ T C D L C D J C D G

Simplificamos o G dos dois lados, e isolamos o T A B

T A B = T C D ⋅ r c r B ⋅ L C D L A B ⋅ J A B J C D

T A B = T C D ⋅ 0,02 0,05 ⋅ 500   m m 300   m m ⋅ 405000 π 128144,53 π

T A B = 2,11 ⋅ T C D

Passo 4

Show!

Agora temos um sistema completo:

T A B + 0,05 F C B = 4 T C D - 0,02 F C B = 0 T A B = 2,11 ⋅ T C D

E resolvendo o sistema chegamos nos resultados:

T A B = 1,831   k N ⋅ m

T C D = 0,868   k N ⋅ m

F C B = 43,38   k N

Passo 5

E agora é só utilizar a equação da tensão de cisalhamento para calcular as tensões:

No eixo AB:

τ A B = T A B c A B J A B = 1,831   k N m ⋅ ( 60 ÷ 2 )   m m 405000 π   m m 4 = 43,17   M P a

No eixo CD:

τ C D = T C D c C D J C D = 0,868 ⋅ 45 ÷ 2 m m 128144,53 π = 48,51   M P a

Resposta

  1. τ A B = 43,17   M P a
  2. τ C D = 48,51   M P a
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