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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 167

A fenda do braço OA gira no sentido anti-horário em torno de O de tal maneira que quando θ = π / 4 , o braço OA está girando com uma velocidade angular de θ ˙ e uma aceleração angular de θ ¨ . Determine as intensidades da velocidade e aceleração do pino B neste instante. O movimento do pino B é restrito de tal maneira que ele se move sobre a superfície circular fixa e ao longo da fenda em OA.

Passo 1

Começaremos o exercício escrevendo a coordenada r e suas derivadas:

r = 2 a c o s θ

r ˙ = - 2 a s e n θ θ ˙

r ¨ = - 2 a c o s θ θ ˙ 2 + s e n θ θ ¨

Quando θ = π / 4 :

r θ = π / 4 = 2 a 2 2 = 2 a

r ˙ θ = π / 4 = - 2 a 2 2 θ ˙ = - 2 a θ ˙

r ¨ θ = π / 4 = - 2 a 2 2 θ ˙ 2 + 2 2 θ ¨ = - 2 a θ ˙ 2 + θ ¨

Passo 2

Agora podemos encontrar as expressões para as componentes da velocidade:

v r = r ˙ = - 2 a θ ˙

v θ = r θ ˙ = 2 a θ ˙

Sendo assim, o módulo da velocidade é dado por:

v = v r 2 + v θ 2 = - 2 a θ ˙ 2 + 2 a θ ˙ 2

v = 2 a θ ˙

Passo 3

Agora podemos calcular as componentes da aceleração:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 2 a θ ˙ 2 + θ ¨ - 2 a θ ˙ 2

a r = - 2 a 2 θ ˙ 2 + θ ¨

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 2 a θ ¨ + 2 - 2 a θ ˙ θ ˙

a θ = 2 a θ ¨ - 2 θ ˙ 2

Dessa forma, o módulo da aceleração é dado por:

a = a r 2 + a θ 2 = - 2 a 2 θ ˙ 2 + θ ¨ 2 + 2 a θ ¨ - 2 θ ˙ 2 2

a = 2 a 4 θ ˙ 4 + θ ¨ 2

Resposta

v = 2 a θ ˙

a = 2 a 4 θ ˙ 4 + θ ¨ 2

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