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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 166

A fenda do braço OA gira no sentido anti-horário em torno de O com uma velociade angular constante de θ ˙ . O movimento do pino B é restrito de tal maneira que ele se move sobre a superfície circular fixa e ao longo da fenda em OA. Determine as intensidades da velocidade e aceleração do pino B como uma função de θ .

Passo 1

Começaremos o exercício escrevendo a coordenada r e suas derivadas:

r = 2 a c o s θ

r ˙ = - 2 a s e n θ θ ˙

r ¨ = - 2 a c o s θ θ ˙ 2 + s e n θ θ ¨

Como sabemos que θ ˙ é constante, θ ¨ = 0 , logo:

r ¨ = - 2 a c o s θ θ ˙ 2

Passo 2

Agora podemos encontrar as expressões para as componentes da velocidade:

v r = r ˙ = - 2 a s e n θ θ ˙

v θ = r θ ˙ = 2 a c o s θ θ ˙

Sendo assim, o módulo da velocidade é dado por:

v = v r 2 + v θ 2 = - 2 a s e n θ θ ˙ 2 + 2 a c o s θ θ ˙ 2

v = 4 a 2 θ ˙ 2 s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ

v = 2 a θ ˙

Passo 3

Agora podemos calcular as componentes da aceleração:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 2 a c o s θ θ ˙ - 2 a c o s θ θ ˙ 2

a r = - 4 a c o s θ θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0 + 2 ( - 2 a s e n θ θ ˙ ) θ ˙

a θ = - 4 a s e n θ θ ˙ 2

Agora podemos encontrar uma expressão para o módulo da aceleração:

a = a r 2 + a θ 2 = - 4 a c o s θ θ ˙ 2 2 + - 4 a s e n θ θ ˙ 2 2

a = 16 a 2 θ ˙ 4 ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ )

a = 4 a θ ˙ 2

Resposta

v = 2 a θ ˙

a = 4 a θ ˙ 2

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