Uma curva de transição em espiral é usada em ferrovias para ligar uma porção reta da linha férrea com uma porção curva. Se a espiral é definida pela equação y = 9 10 - 6 x 3 , onde x e y estão em metros, determine a intensidade da aceleração de uma locomotiva se movendo com uma velocidade escalar constante de 12m / s quando ela está no ponto x = 180m .

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 148

Uma curva de transição em espiral é usada em ferrovias para ligar uma porção reta da linha férrea com uma porção curva. Se a espiral é definida pela equação , onde e estão em metros, determine a intensidade da aceleração de uma locomotiva se movendo com uma velocidade escalar constante de quando ela está no ponto .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos a aceleração.

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

Quando , temos:

Passo 3

Agora, para calcularmos as componentes da aceleração, podemos substituir os valores diretamente nas suas equações. Como o termo tangencial já foi dado e é igual a , pois a velocidade é constante, calcularemos a componente normal. Sendo assim, temos:

Portanto, calculando a intensidade da aceleração, temos:

Resposta

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