Enunciado

A figura mostra a seção transversal de um recipiente composto por uma casca hemisférica de raio r e uma casca cilíndrica de altura h , feitas do mesmo material. Especifique o limite de h para haver estabilidade na posição vertical quando o recipiente é colocado sobre uma superfície horizontal.

Passo 1

Se o sistema está em equilíbrio, ao girarmos a casca em torno de um ângulo pequeno δ θ , devemos ter uma variação da energia potencial do sistema igual a zero:

δ V δ θ = 0

Além disso, se a segunda derivada da função potencial for positiva, o equilíbrio será estável:

δ 2 V δ θ 2 > 0 → E q u i l í b r i o   e s t á v e l

Então, vamos calcular a variação da energia potencial gravitacional relacionada com h , e tentar satisfazer a condição de equilíbrio estável.

Passo 2

O primeiro passo é determinar as coordenadas do centro de massa da casca. Pela simetria, o centro de massa deve estar no eixo central, e só falta definir a altura. Vamos usar a fórmula do centro de massa da combinação de dois corpos:

y - = y 1 A 1 + y 2 A 2 A 1 + A 2

Sabe-se que o centro de massa de uma casca hemisférica dica a uma distância r / 2 do centro. Então:

y 1 = r 2

Além disso a área da casca é:

A 1 = 2 π r 2

Para o cilindro, o centro de massa fica no meio:

y 2 = r + h 2

E sua área é dada por:

A 2 = 2 π r h

Vamos então usar a fórmula:

y - = y 1 A 1 + y 2 A 2 A 1 + A 2 = r 2 2 π r 2 + r + h 2 2 π r h 2 π r 2 + 2 π r h = π r 3 + 2 π r 2 h + π r h 2 2 π r 2 + 2 π r h

Dividindo em cima e em baixo por π r :

y - = r 2 + 2 r h + h 2 2 r + h = r + h 2 2 r + h = r + h 2

Passo 3

Agora vamos desenhar a altura y do centro de massa para uma inclinação θ em relação à vertical:

Podemos calcular a pequena altura c através da distância r θ na qual a casca gira no chão. O ângulo entre c e r θ é θ / 2 , como pode ser observado:

Então:

c r θ = tan ⁡ θ 2

⇒ c = r θ tan ⁡ θ 2

A altura do centro de massa é então:

y = r θ tan ⁡ θ 2 + r + h 2 cos ⁡ θ

Passo 4

Agora vamos obter a expressão da variação δ V da energia potencial gravitacional. A variação δ y da altura do centro de massa em função e δ θ é obtida por derivação de y :

y = r θ tan ⁡ θ 2 + r + h 2 cos ⁡ θ

δ y = r tan ⁡ θ 2 + r θ 2 sec 2 ⁡ θ 2 - r + h 2 sen ⁡ θ δ θ

Então temos a expressão de δ V :

δ V = m g   δ y = m g r tan ⁡ θ 2 + r θ 2 sec 2 ⁡ θ 2 - r + h 2 sen ⁡ θ δ θ

Passo 5

Já temos a derivada da função potencial em função de θ :

δ V δ θ = m g r tan ⁡ θ 2 + r θ 2 sec 2 ⁡ θ 2 - r + h 2 sen ⁡ θ

Para θ = 0 ° , essa função é igual a zero. Queremos agora que a segunda derivada seja positiva. Derivamos de novo:

δ 2 V δ θ 2 = m g r 2 sec 2 ⁡ θ 2 + r 2 sec 2 ⁡ θ 2 + r θ 2 1 2 ⋅ 2 sec ⁡ θ 2 ⋅ sec ⁡ θ 2 tg ⁡ θ 2 - r + h 2 cos ⁡ θ

= m g r sec 2 ⁡ θ 2 + r θ 2 sec 2 ⁡ θ 2 tg ⁡ θ 2 - r + h 2 cos ⁡ θ

Para θ = 0 , nossa expressão é reduzida a:

δ 2 V δ θ 2 = m g r - r + h 2 > 0

⇒ m g r 2 - h 2 > 0

Isso implica que:

h < r

Resposta

h M á x = r

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