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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 63

A casca semicilíndrica de raio r gira em torno de um eixo, pelos pontos O , como mostrado. A massa das duas hastes de suporte é pequena comparada à massa da casca. Determine o valor máximo de h para o qual o equilíbrio na posição mostrada é estável.

Passo 1

Se o sistema está em equilíbrio, ao girarmos a casca em torno do eixo de um ângulo pequeno δ θ , devemos ter uma variação da energia potencial do sistema igual a zero:

δ V δ θ = 0

Além disso, se a segunda derivada da função potencial for positiva, o equilíbrio será estável:

δ 2 V δ θ 2 > 0 → E q u i l í b r i o   e s t á v e l

Então, vamos calcular a variação da energia potencial gravitacional relacionada com h , e tentar satisfazer a condição de equilíbrio estável.

Passo 2

A altura do centro de massa da casca cilíndrica é conhecida:

y = 2 π r

Vamos desenhar um giro de ângulo δ θ em torno do eixo:

A altura do centro de massa em relação ao eixo de rotação é:

y C - y O = 2 π r - r - h = h - 1 - 2 π r

Então para um giro θ , a altura do centro de massa em relação ao eixo fica:

y = h - 1 - 2 π r cos ⁡ θ

Derivando:

δ y = - h - 1 - 2 π r sen ⁡ θ δ θ

Passo 3

Como temos a variação da altura do centro de massa, temos também a variação da energia potencial gravitacional:

δ V = m g δ h = - m g h - 1 - 2 π r sen ⁡ θ δ θ

Então:

δ V δ θ = - m g h - 1 - 2 π r sen ⁡ θ

No nosso caso temos θ = 0 , então δ V / δ θ já é igual a zero. Falta então que δ 2 V δ θ 2 seja positivo. Derivando de novo:

δ 2 V δ θ 2 = - m g h - 1 - 2 π r cos ⁡ θ > 0

Para θ = 0 o cosseno é 1, temos então:

- m g h - 1 - 2 π r > 0

Cortando m g :

- h + 1 - 2 π r > 0

⇒ h < 1 - 2 π r

⇒ h M á x = 1 - 2 π r

Resposta

h M á x = 1 - 2 π r

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