Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.10 - Ex. 248
Um foguete lançado verticalmente para cima a partir do pólo norte alcança uma velocidade de em uma altitude de quando se esgota o seu combustível. Calcule a altura vertical adicional atingida pelo foguete antes que este comece a sua descida de volta à terra. A fase de vôo sem propulsão ocorre acima da atmosfera. Consulte a Fig. 1/1 na escolha adequada do valor da aceleração gravitacional e utilize o raio médio da terra da tabela D/2. (Observação: o lançamento a partir do pólo da terra evita ter de considerar o efeito da rotação da terra).
Passo 1
Vamos entender o problema: o foguete está em uma certa altitude quando seu combustível acaba, mas ele ainda tem uma certa velocidade apontando para cima.
Sem o impulso do combustível, a gravidade vai começar a frear o foguete, até que ele finalmente pare e comece a cair.
Nosso objetivo é saber o seguinte: qual é a distância que o foguete percorre até parar totalmente antes de começar a cair?
Seria uma questão bem simples se não fosse uma coisa: temos que considerar a variação na aceleração da gravidade. Vamos chamar de a aceleração da gravidade na superfície da Terra:
E então para altitudes maiores, podemos escrever o seguinte:
E nesse caso específico, o nosso interesse mesmo é saber o quanto o foguete anda acima da altitude , então vamos reescrever a expressão:
Passo 2
Ok, essa é a fórmula para a aceleração que age sobre o foguete. Precisamos relacionar essa aceleração com a distância percorrida conforme a velocidade vai de até zero.
Vamos lembrar da definição da aceleração:
E pela regra da cadeia podemos escrever o seguinte:
E então:
Agora é só substituir a expressão para a aceleração:
E vamos integrar, lembrando que a altitude vai de até enquanto vai de até .
Vamos resolver essa integral.
Passo 3
Começamos com a integral da velocidade, que é mais simples:
E substituindo na equação de cima:
E agora eliminando o sinal negativo e resolvendo a integral da direita:
Agora vamos juntar essas duas frações:
Passo 4
Como nosso objetivo é calcular a altura , vamos isolar essa variável na expressão:
E agora é só substituir os valores numéricos (consultando a tabela e a imagem mencionadas no enunciado):
Pronto!
Resposta
O foguete atinge uma altura adicional de aproximadamente .