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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 122

O foguete está em voo livre ao longo de uma trajetória elíptica A ' A . O planeta não tem atmosfera, e sua massa é de 0,60 vezes a da Terra. Se a órbita tem a apoapside e a periápside mostradas, determine a velocidade vetorial do foguete quando ele está no ponto A .

Passo 1

O enunciado nos diz que:

O foguete está em um vôo livre em uma trajetória elíptica;

A massa do planeta é de M P = 0,6   M e e seu raio é de r = 3200   k m ;

Devemos definir a velocidade vetorial do foguete no ponto A .

Vemos que o perigeu ocorre no ponto A e o apogeu no ponto A ' .

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Passo 2

Através da imagem, podemos achar raio do perigeu ( r p ) e do apogeu ( r a ) da órbita.

r p = O A = 6400   k m

r a = O A ' = 16000   k m

Além disso, sabemos que M P = 0,6   M e , logo

M P = 0,6 5,976 10 24 = 3,5856 10 24   k g

Com estes dados, podemos utilizar a fórmula que relaciona o raio de apogeu e do perigeu com a velocidade vetorial do perigeu para encontrar a velocidade no ponto A .

r a = r P 2 G M P r P v P 2 - 1

O A ' = O A 2 G M P O A v A 2 - 1

Colocando v A em evidência, temos

v A = 2 G M P O A O A O A ' + 1 = 2 ( 66,73 ) 10 - 12 3,59 10 24 6400 ( 10 3 ) 6400 16000 + 1

v A = 7308,06   m / s  

Resposta

v A = 7,31   k m / s

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