A força F = y z i + z x j + x y k / x y z age sobre uma partícula P x , y , z que se move no espaço. (a) Usando a relação deduzida no Problema 13.79 , mostre que essa força é uma força conservativa. (b) Determine a função potencial associada a F .

Passo 1

Do enunciado, temos que:

F = y z i + z x j + x y k x y z

Portanto:

F x = y z x y z = 1 x

F y = z x x y z = 1 y

F z = x y x y z = 1 z

Sabemos que a força é conservativa quando:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x ∂ F y ∂ z = ∂ F z ∂ y ∂ F z ∂ x = ∂ F x ∂ z

Vamos derivar cada termo:

Derivando F x com relação a y , temos que:

∂ F x ∂ y = 0

Derivando F y com relação a x , temos:

∂ F y ∂ x = 0

Se derivarmos F y com relação a z e F z com relação a y , teremos:

∂ F y ∂ z = ∂ F z ∂ y = 0

Analogamente, se derivarmos F z com relação a x e F x com relação a z , teremos:

∂ F z ∂ x = ∂ F x ∂ z = 0

Como a condição foi respeitada, temos que a força é conservativa para a situação do enunciado.

Passo 2

Para o item (b), temos que encontrar a função potencial associada a F .

Sabendo que:

F = - g r a d   v

Ou:

F x i + F y j + F z k = - ∂ v ∂ x i + ∂ v ∂ y j + ∂ v ∂ z k

Então:

∂ v ∂ x = - 1 x

∂ v ∂ y = - 1 y

∂ v ∂ z = - 1 z

Resolvendo, temos que:

v x = - ln ⁡ x

v y = - ln ⁡ y

v z = - ln ⁡ z

Portanto, a função potencial associa a F é:

v = - ln ⁡ x - ln ⁡ y - ln ⁡ z = - ln ⁡ x y z

Resposta

  1. ∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x = 0 ∂ F y ∂ z = ∂ F z ∂ y = 0 ∂ F z ∂ x = ∂ F x ∂ z = 0
  2. v = - ln ⁡ x - ln ⁡ y - ln ⁡ z = - ln ⁡ x y z
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