Enunciado

A força F atua sobre o suporte dentro do octante mostrado. Se as intensidades das componentes x e z de F são F x = 300   N e F z = 600 N , respectivamente, e β = 60 ° , determine a intensidade de F e de sua componente y . Além disso, encontre os ângulos de direção coordenados α e γ .

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a força F , para isso vamos substituir as informações que temos na relação:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Sabemos que:

F x = F cos ⁡ α ∴ cos ⁡ α = F x F

F z = F cos ⁡ γ ∴ cos ⁡ γ = F z F

Então:

F x F 2 + cos 2 ⁡ β + F z F 2 = 1

300 F 2 + cos 2 ⁡ 60 ° + 600 F 2 = 1

300 2 F 2 + 1 4 + 600 2 F 2 = 1

4 ⋅ 300 2 4 F 2 + F 2 4 F 2 + 4 ⋅ 600 2 4 F 2 = 1

4 ⋅ 300 2 + F 2 + 4 ⋅ 600 2 = 4 F 2

3 F 2 = 1800000

F = ± 600000

F = ± 775   N

Assim, a intensidade da força F em módulo será:

F = 775   N

Passo 2

Vamos agora encontrar os ângulos de direção coordenados, dado:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 300 775 ∴ α = 67,2 °

γ = cos - 1 ⁡ 600 775 ∴ γ = 39,3 °

Resposta

F = 775   N

α = 67,2 °

γ = 39,3 °

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