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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 18

A força atuando sobre um projétil que tem massa m , enquanto este passa horizontalmente pelo cano do canhão é F = C sen ⁡ ( π t / t ' ) . Determine a velocidade do projétil quando t = t ' . Se o projétil alcança o final do cano nesse instante, determine o comprimento s .

Passo 1

Devemos determinar a velocidade do projétil quando t = t ' e, caso o projétil alcance o final do cano nesse instante, devemos determinar s .

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre do projétil:

Onde F = C sen ⁡ ( π t / t ' ) é a força exercida pelo canhão.

Passo 2

Para encontrar a velocidade v em t = t ' , vamos aplicar o Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento Linear:

∑ m i v i 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 F i d t = ∑ m i v i 2

Sabemos que inicialmente o projétil está em repouso, logo sua velocidade inicial é nula.

No eixo x :

m v 0 + ∑ ∫ 0 t F d t = m v

0 + ∫ 0 t C sen ⁡ ( π t / t ' ) d t = m v

- C t ' π cos ⁡ π t t ' + - C t ' π cos ⁡ 0 t ' = m v

v = C t ' m π 1 - cos ⁡ π t t '

Logo, para t = t ' , temos que

v = C t ' m π 1 - cos ⁡ π t ' t '

v = C t ' m π 1 + 1

v = 2 C t ' m π

Passo 3

Agora vamos determinar o valor de s .

Quando a bala percorre o canhão, temos que t = t ' e uma velocidade de v = 2 C t ' m π

Sabemos que, por definição

v = d s d t

Logo,

d s = v d t

Integrando dentre do intervalo de s = 0 e s , obtemos

∫ 0 s d s = ∫ 0 t C t ' m π 1 - cos ⁡ π t t ' d t

s = C t ' m π t - t ' π sen ⁡ π t t '

Em t = t ' :

s = C t ' m π t ' - t ' π sen ⁡ π t ' t '

s = C t ' m π t ' - 0

s = C t ' 2 m π

Resposta

v = 2 C t ' m π

s = C t ' 2 m π

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