Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 28

Uma força vertical de 4kN é aplicada no ponto A de um componente de maquina mostrado. Determinar as tensões principais e a máxima tensão de cisalhamento no:

Ponto H

Ponto K

Passo 1

Temos dois objetivos, que são, determinar as tensões principais e a máxima tensão cisalhante nos pontos H e K para isso precisamos fazer o seguinte:

Levar todas as forças com seus respectivos momentos fletores até o ponto H e K
Com todas as ações no ponto H e k descartar a parte da seção onde as forças estavam
Construir o estado plano de tensões no ponto H e K
Calcular a máxima tensão cisalhante e as tensões principais nos pontos H e K.

Sabendo isso vamos ao nosso primeiro passo:

Passo 2

Vamos levar as forças até a seção com as suas respectivas ações ligadas, se fizermos um elemento unifilar teremos que:

Levando a carga de até a seção, teremos que:

Assim a resultante é dada por:

Agora que temos as ações que agem na estrutura, podemos para de olhar a seção como unifilar e podemos olhar ela como uma seção retangular, sendo assim teremos que:

Agora vamos analisar o que cada esforço irá produzir na nossa seção H:

Como a carga de está na vertical e o ponto H está no topo da seção, podemos considerar que o cortante não irá gerar tensão de cisalhamento no ponto H
O momento torsor de irá gerar uma tensão cisalhante no ponto H
O momento fletor vai gerar uma tensão normal no ponto H.

Assim as forças que geram algo no ponto H são:

Agora vamos analisar o que cada esforço irá produzir na nossa seção K:

Como a carga de está na vertical e o ponto K está na lateral, logo, terá tensão de cisalhamento na mesma.
O momento torsor de irá gerar uma tensão cisalhante no ponto K
O momento fletor não vai gerar uma tensão normal no ponto K, já que K está sobre a LN.

Assim as forças que geram algo no ponto K são:

Passo 3

Se já temos os esforços, podemos calcular as tensões que cada um deles produz em cada ponto:

Ponto H

Vamos começar pelas tensões normais:

Para a tensão normal, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

Temos o nosso momento fletor:

A distância em y é o valor de metade da altura da seção, que é dado por:

E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tração na direção X, que podemos descrever como:

Vamos para a tensão cisalhante:

Devido ao momento torsor

Para a tensão cisalhante devido ao momento torsor, é importante lembrar que a fórmula para seções retangulares é dada por:

Temos o nosso momento fletor:

E a tensão cisalhante é dada por:

Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto H, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H

Sabemos que a tensão máxima cisalhante é dada por:

Para as tensões principais precisamos da tensão média dada por:

Assim teremos que:

Passo 4

Finalizado o ponto H podemos partir para o ponto K, que podemos perceber o seguinte, ele só possui ação do momento torsor e do cortante, com isso podemos calcular apenas as tensões cisalhantes que agem no ponto K, assim teremos que:

Ponto K

Devido ao momento torsor

Para a tensão cisalhante devido ao momento torsor, é importante lembrar que a fórmula para seções retangulares é dada por:

Temos o nosso momento fletor:

E a tensão cisalhante é dada por:

Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto K, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto H

Devido ao cortante

Para a tensão cisalhante devido ao cortante, é importante lembrar que a fórmula é dada por:

Temos o nosso cortante:

é a espessura da seção:

E o momento de inercia da seção vazada é dada por:

Assim o nosso momento estático será dado por:

Ou seja, esse esforço, no nosso elementinho, no ponto K, gera uma tensão cisalhante no nosso ponto K contrária ao que definimos, sendo assim teremos que: