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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 52

52. Se a frequência de excitação para o sistema do Problema 8 / 50 é ω = 6   r a d / s , determine o valor necessário do coeficiente de amortecimento c se a amplitude em regime permanente não deve exceder 75   m m .

Passo 1

Bom! Do problema 8 / 50 já sabemos que a frequência natural ω n   do nosso sistema, é de 6   r a d / s .

Passo 2

Agora, supondo que o coeficiente de amortecimento viscoso do nosso sistema é diferente de zero, vamos aplicar a fórmula da amplitude X em regime permanente:

X = F 0 / k 1 - ω ω n 2 2 + 2 ξ ω ω n 2

E substituímos os valores numéricos que já temos:

X = 25   N 1080   N / m 1 - 6   r a d / s 6   r a d / s 2 2 + 2 ξ 6   r a d / s 6   r a d / s 2

A própria questão nos fala que essa amplitude não deve exceder 75   m m , e nos pede o valor necessário para que isso não ocorra. Ora bolas! O valor necessário ocorre quando nosso X vale justamente 75   m m .

25   N 1080   N / m 2 ξ ⋅ 6   r a d / s 6   r a d / s 2 = 0,075   m

25   N 1080   N / m [ ( 2 ξ ) 2 ] = 0,075   m

[ ( 2 ξ ) 2 ] ⋅ 0,075   m = 25   N 1080   N / m

[ ( 2 ξ ) 2 ] = 1 3,24

2 ξ = 1 3,24

ξ = 1 6,48

ξ ≅ 0,15432

Passo 3

E por fim, agora devemos lembrar que o fator de amortecimento ξ é dado em função do coeficiente de amortecimento viscoso c e da frequência angular natural ω n   , pela seguinte fórmula:

ξ = c 2 m ω n  

Substituindo os valores numéricos pertinentes a cada variável, obtemos o valor de c que tanto queremos:

c = 2 m ξ ω n  

c ≅ 2 30   k g 0,15432 ( 6   r a d / s )

c ≅ 55,56   N ⋅ s m

Resposta

c ≅ 55,56   N ⋅ s m

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