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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 47

47. Uma máquina montada sobre molas, com uma massa de 24   k g , vibra harmonicamente na direção vertical, com uma amplitude de 0,30   m m , sob a ação de uma força vertical que varia harmonicamente entre F 0 e - F 0 , com uma frequência de 4   H z . O amortecimento é desprezível. Se uma força estática de módulo F 0 provoca uma deflexão de 0,60   m m , calcule a constante de mola equivalente k para as molas que sustentam a máquina.

Passo 1

Bom, como foi dado que o amortecimento é desprezível, podemos utilizar a seguinte relação:

X F 0 / k = 1 1 - ω \ ω n 2

Mas o que significa essas variáveis?

Bom! X indica a amplitude da vibração harmônica.

F 0 / k nos indicará a deflexão ( δ ) que a força provoca ( F 0 / k = b ) .

E ω é a frequência da máquina. Ela será calculada pela fórmula:

ω = 2 π f → ω = 2 π ⋅ 4 H z

ω = 8 π   r a d / s

Já ω n é a frequência de ressonância que pode ser dado pela fórmula:

ω n 2 = k m

Onde k é a constante elástica e m a massa da máquina.

Passo 2

Agora, devemos substituir os valores na fórmula. Mas antes analisaremos que, para F 0 / k = M , onde M é o fator de amortecimento, temos M = 0,5 < 1 , logo 1 - ( ω / ω n ) 2 é negativo

- 0,3   m 0,6   m = 1 1 - 8 π r a d s 2 k 24   N m

- 0,5 = 1 1 - 8 π r a d s 2 k 24   N / m k g

- 0,5 = 1 1 - 8 π   r a d / s 2 ⋅ ( 24   k g ) k   ( N / m )

- 0,5 = 1 k ( N / m ) - 8 π   r a d / s 2 ⋅ ( 24   k g ) k   ( N / m )

- 0,5 = k ( N / m ) k ( N / m ) - 8 π   r a d / s 2 ⋅ ( 24   k g )

- 0,5 k N / m - 8 π r a d / s 2 ⋅ 24   k g = k ( N / m )

k N / m + 0,5   k N / m = + 0,5 ( 64 π 2 ( r a d / s ) 2 ⋅ 24   k g )

1,5   k = 7579,865

k ≅ 5050   N / m

(Ali em cima, pode parecer estranho termos r a d / s   sendo dividido por uma outra unidade, mas se você fizer a análise dimensional e considerar que r a d / s 2 como sendo s - 2 , todos os resultados darão certo.)

Resposta

A constante de mola equivalente que sustentam a máquina é:

k ≅ 505 0   N / m

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