Enunciado

Os garotos em um tobogã estão se movendo para baixo ao longo de uma curva que pode ser aproximada pela parábola y = 0,01 x 2 . Determine a intensidade da sua aceleração quando eles chegam ao ponto A, onde sua velocidade é v A = 10   m / s , e ela está aumentando a uma razão de a t A = 3   m / s 2

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de x = 60 que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos a aceleração.

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = 0,02 x

y ' ' = d 2 y d x 2 = 0,02

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + 0,02 x 2 3 / 2 0,02

Quando x = 60 , temos:

ρ = 190,6   m

Passo 3

Agora, para calcularmos as componentes da aceleração, podemos substituir os valores diretamente nas suas equações. Como o termo tangencial já foi dado e é igual a a t A = 3   m / s 2 , calcularemos a componente normal. Sendo assim, temos:

a n = v 2 ρ = 10 2 190,6 = 0,52   m / s 2

Portanto, calculando a intensidade da aceleração, temos:

a = a n 2 + a t 2

a = 0,52 2 + 3 2

a = 3,05   m / s 2

Resposta

a = 3,05   m / s 2

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