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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 48

O gráfico a - s para um jipe viajando ao longo de uma estrada reta é dado para os primeiros 300 m desse movimento. Construa o gráfico v - s . Em s = 0 , v = 0 .

Passo 1

Sabemos que, quando o gráfico a - s é conhecido, pontos do gráfico v - s podem ser determinados utilizando-se,

a   d s   =   v   d v

A partir do gráfico, vamos montar uma equação para a em função do espaço. Logo depois podemos aplicar a   d s   =   v   d v .

Vemos que há dois comportamentos, de 0 à 200 m e de 200 m à 300 m.

Passo 2

Para o trecho de 0 à 200 m, temos que a 0 = 0 e a 200 = 2 . Usando a equação da reta,

a = A × s + B

Aplicando a 0 = 0 ,

0 = A × 0 + B

B = 0

a = A × s

Aplicando a 200 = 2 ,

2 = A × 200

A = 0,01

a = 0,01 s

Aplicando a   d s   =   v   d v .

a d s   = v   d v

0,01 s   d s   = v   d v

Agora é só integrar dos dois lados,

∫ 0 s 0,01 s   d s = ∫ 0 v v     d v

0,01 s 2 2 s 0 = v 2 2 v 0

0,01 s 2 2 - 0,01 0 2 2 = v 2 2 - 0 2 2

0,01 s 2 2 = v 2 2

v 2 = 0,01 s 2

v t r e c h o   1 = 0,1 s

v t r e c h o   1 200   = 0,1 × 200 = 20 m/s

Passo 3

Para o trecho de 20 0 à 3 00 m, temos que a 200 = 2 e a 3 00 = 0 . Usando a equação da reta,

a = A × s + B

Aplicando a 300 = 0 ,

0 = A × 300 + B

B = - 300 × A

a = A × s - 300 × A

Aplicando a 2 00 = 2 ,

2 = A × 200 - 300 × A

2 = - 1 00 × A

A = - 0,02

B = 300 × 0,02 = 6

a t r e c h o   2 = - 0,0 2 s + 6

Aplicando a   d s   =   v   d v .

a t r e c h o   2   d s   = v t r e c h o   2   d v

- 0,02 s + 6   d s   = v t r e c h o   2   d v

Agora é só integrar dos dois lados,

∫ 200 s - 0,02 s + 6   d s = ∫ v 200 v v     d v

- 0,02 s 2 2 + 6 s s 200 = v 2 2 v 2 0

- 0,02 s 2 2 + 6 s + 0,02 × 200 2 2 - 6 × 200 = v 2 2 - 20 2 2

- 0,02 s 2 2 + 6 s + 400 - 1200 = v 2 2 - 200

- 0,02 s 2 2 + 6 s - 800 + 200 = v 2 2

v 2 2 = - 0,02 s 2 2 + 6 s - 600

v 2 = 2 - 0,02 s 2 2 + 6 s - 600

v t r e c h o   2 = - 0,02 s 2 + 12 s - 1200

v t r e c h o   2 300 = - 0,02 × 300 2 + 12 × 300 - 1200 = 24,49 m/s

Resposta

O gráfico v - s está mostrado abaixo.

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