O cilindro circular homogêneo do Prob. 8/93, reapresentado aqui, rola sem deslizar sobre a trajetória de raio R. Determine o período para pequenas oscilações.

Bom pessoal, nessa questão o que é mais complicado é enxergar o que está acontecendo e associar isso ao método de energia. Vamos então por partes:

Como sabemos, em um movimento harmônico simples, a energia é um balanço entre a energia cinética e a energia potencial, como mostra a equação:

Como o sistema é conservativo, a energia total E é uma constante. Além disso, nós temos que quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é nula, e vice versa. Veja só:

Consideramos que a energia cinética é máxima no instante inicial do sistema, isto é, , pois a roda está no seu ponto mais baixo. Então, quando:

Agora, vamos voltar para a equação do movimento harmônico e escrever de uma maneira mais completa de acordo com a questão.

Onde a energia cinética é composta pela energia cinética rotacional e pela energia cinética de translação .

A velocidade do centro de massa pode ser obtida na condição inicial, quando a roda está no ponto mais baixo:

E a velocidade angular pode ser obtida pelo centro instantâneo de velocidade nula, que está localizado no ponto de contato da roda com o chão (uma vez que não há deslizamento). Temos então:

Agora, a energia potencial neste caso é apenas gravitacional e pode ser escrita por:

A parte do é obtida pelo fato de que quando , pois a roda está no ponto mais baixo.

Beleza!! Agora vamos substituir os valores:

Para uma roda, , logo:

Como

Para ângulos muito pequenos, vale a aproximação:

Portanto, substituindo e simplificando:

Arrumando a equação para o termo a segunda ficar com o coeficiente unitário, temos:

Agora temos uma equação nos moldes da equação do movimento harmônico. Com isto, sabemos a frequência natural:

O período do movimento pode ser associado à frequência natural pela equação:

Agora é só substituir: