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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 42

A haste telescópica é articulada em O , e sua extremidade A recebe uma velocidade constante para cima de 200   m m / s pela haste do pistão do cilindro hidráulico fixo B . Calcule a velocidade angular θ ˙ e a aceleração angular θ ¨ da haste O A para o instante em que y = 600   m m .

Passo 1

Vamos usar o desenho para escrever algumas relações geométricas:

y = 0,5 tan ⁡ θ

Agora vamos derivar em relação ao tempo:

y ˙ = 0,5   θ ˙ sec 2 ⁡ θ

E y ˙ é a velocidade vertical que foi dada no enunciado, como essa velocidade é constante, podemos afirmar que y ¨ = 0 , então se derivarmos em relação ao tempo mais uma vez:

0 = 0,5   θ ¨ sec 2 ⁡ θ + ( 0,5 ) ( 2 ) ( θ ˙ 2 ) ( sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ )

Passo 2

Vamos isolar θ ˙   e θ ¨ em cada uma das equações:

θ ˙ = 2 y ˙ cos 2 ⁡ θ

E pela segunda equação:

0 = 0,5   θ ¨ sec 2 ⁡ θ + ( 0,5 ) ( 2 ) ( θ ˙ 2 ) ( sec 2 ⁡ θ tan ⁡ θ )

Dividindo tudo por 0,5 sec 2 ⁡ θ :

θ ¨ = - 2 θ ˙ 2 tan ⁡ θ

Passo 3

Agora queremos calcular essas duas taxas no instante em que y = 600   m m . Pela primeira relação que escrevemos no passo 1 , sabemos que:

0,6 = 0,5 tan ⁡ θ

tan ⁡ θ = 6 5

cos ⁡ θ = 0,640

E então vamos substituir nas fórmulas que já encontramos:

θ ˙ = 2 y ˙ cos 2 ⁡ θ

θ ˙ = 2 0,2 0,640 2 ≅ 0,1639   r a d / s

E para a aceleração angular

θ ¨ = - 2 θ ˙ 2 tan ⁡ θ

θ ¨ = - 2 0,1639 2 6 5 = - 0,0645   r a d / s 2

Resposta

A velocidade angular é θ ˙ = 0,1639   r a d / s e a aceleração angular é θ ¨ = - 0,0645   r a d / s 2 .

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