Enunciado

Se a haste uniforme O A tem massa de 12   k g , determine a massa m que a manterá em equilibrio quando θ = 30 ∘ . O ponto C coincide c o m ⁡ B quando OA está na horizontal. Despreze o tamanho da polia em B .

Passo 1

Datum é colocado na junta. Para calcular todas as distâncias a partir do datum, primeiro vamos introduzir um ângulo adicional α. Este ângulo representará o ângulo da haste AB e datum como mostrado na imagem. A soma dos ângulos θ e ϕ é constante. Agora vamos calcular a função potencial:

V = V g + V e

V e = 0

V g = W 1 y 1 + W 2 y 2 + W 3 y 3

W 1 = 3 2 l ⋅ m 0

W 2 = l ⋅ m 0

W 3 = 1 2 l ⋅ m 0

y 1 = - 3 2 s i n ⁡ α

y 2 = - 3 2 s i n ⁡ ( α + θ + ϕ )

y 3 = - l ( s i n ⁡ a c o s ⁡ ( θ + ϕ ) + c o s ⁡ α s i n ⁡ ( θ + ϕ ) ) - 1 2 l c o s a c o s ⁡ θ + ϕ + 90 ∘ - s i n ⁡ α s i n ⁡ θ + ϕ + 90 ∘

Para cálculos adicionais, precisaremos calcular ângulos constantes:

B A ¯ = l 2 + l 2 2 = l 5 2

c o s ⁡ ( θ + ϕ ) = 2 5 5 s i n ⁡ ( θ + ϕ ) = 5 5 θ + ϕ = a r c s i n ⁡ 5 5 = 26.565 ∘ c o s ⁡ ( θ + ϕ - 90 ) = 0.447 s i n ⁡ ( θ + ϕ - 90 ) = - 0.894

Passo 2

Agora vamos calcular a derivada da função potencial:

δ V d α = 0

- 3 2 l m 0 ⁡ 3 2 l c o s ⁡ α - l m 0 ⁡ 1 2 l c o s ⁡ α ⋅ 2 5 5 + l m 0 ⁡ 1 2 l c o s ⁡ α ⋅ 5 5 + + 1 2 l m 0 ⁡ - l c o s ⁡ α 2 5 5 + l s i n ⁡ α 5 5 + 1 2 l s i n ⁡ a 0.447 + 1 2 l c o s ⁡ a 0.894 = 0

- 3.37 l 2 m 0 c o s ⁡ α + 0.55 l 2 m 0 s i n ⁡ α = 0 - 3.37 c o s ⁡ α = 0.55 s i n ⁡ α - 3.37 2 c o s 2 ⁡ α = 0.55 2 1 - c o s 2 ⁡ a 11.65 c o s 2 ⁡ α = 0.55 2

c o s ⁡ α = 0.1637 α = 80.57 ∘

θ = 90 ∘ - α = 9.42 ∘

ϕ = 26.565 - θ = 17.1 3

Passo 3

Resposta

θ = 9.42 ∘ ϕ = 17.13 ∘

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