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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 180

Para a hélice cônica do Problema 11.95, determine o ângulo que o plano de oscilação forma com o eixo y.

Passo 1

Observe primeiro que os vetores v e a estão no plano osculante.

Agora

r = R t cos ⁡ ω n t i + c t j + R t sin ⁡ ω n t k

Então

v = d r d t = R cos ⁡ ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t i + c j + R sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t k

e

a = d v d t = R - ω n sin ⁡ ω n t - ω n sin ⁡ ω n t - ω n 2 t cos ⁡ ω n t i

+ R ω n cos ⁡ ω n t + ω n cos ⁡ ω n t - ω n 2 t sin ⁡ ω n t k

= ω n R - 2 sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t i + 2 cos ⁡ ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t k

Segue-se então que o vetor (v × a) é perpendicular ao plano osculante.

Passo 2

v × a = ω n R i j k R cos ⁡ ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t c R sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t - 2 sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t 0 2 cos ⁡ ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t

= ω n R c 2 cos ⁡ ω n t - ω N t sin ⁡ ω n t i + R - sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t 2 sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t

- cos ⁡ ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t 2 cos ⁡ ω n t - ω n t s i n   ω n t j + c 2 sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t k

= ω n R c 2 cos ⁡ ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t i - R 2 + ω n 2 t 2 j + c 2 sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t k

Passo 3

O ângulo α formado pelo vetor (v × a) e o eixo y é encontrado a partir de

cos ⁡ α = v × a ∙ j v × a j

Onde

j = 1

v × a ∙ j = - ω n R 2 2 + ω n 2 t 2

v × a = ω n R c 2 2 cos ⁡ ω n t - ω n t sin ⁡ ω n t 2 + R 2 2 + ω n 2 t 2 2

+ c 2 2 sin ⁡ ω n t + ω n t cos ⁡ ω n t 2 1 / 2

= ω n R c 2 4 + ω n 2 t 2 + R 2 2 + ω n 2 t 2 2 1 / 2

Passo 4

cos ⁡ α = - ω n R 2 2 + ω n 2 t 2 ω n R c 2 4 + ω n 2 t 2 + R 2 2 + ω n 2 t 2 2 1 / 2

= - R 2 2 + ω n 2 t 2 c 2 4 + ω n 2 t 2 + R 2 2 + ω n 2 t 2 2 1 / 2

O ângulo β que o plano osculante forma com o eixo y (veja o diagrama acima) é igual a

β = α - 90 °

Passo 5

Então

cos ⁡ α = cos ⁡ β + 90 ° = - sin ⁡ β

- sin ⁡ β = - R 2 + ω n 2 t 2 c 2 4 + ω n 2 t 2 + R 2 2 + ω n 2 t 2 2 1 / 2

Então

tan ⁡ β = R 2 + ω n 2 t 2 c 4 + ω n 2 t 2

Resposta

β = tan - 1 R 2 + ω n 2 t 2 c 4 + ω n 2 t 2

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