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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 41

No instante mostrado, a barra de 25   k g gira no sentido horário a 2   r a d / s . A mola fixada em sua extremidade permanece sempre vertical, devido ao rolete guia em C . Se a mola tem um comprimento não deformado de 0,6   m e uma rigidez k = 200   N / m , determine o ângulo θ , medido a partir da horizontal, até o qual a barra irá antes de parar momentaneamente.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos aplicar conservação de energia:

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

Vamos avaliar as energias cinéticas. Para o momento inicial, temos:

T 1 = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 I G ω 1 2

Como a velocidade tangencial inicial é nula v 1 = 0 , e temos a velocidade angular agindo no sistema, temos que:

T 1 = 1 2 1 3 25 1,8 2 2 2

T 1 = 54

Para o momento final, temos:

T 2 = 1 2 m 2 v 2 2 + 1 2 I G ω 2 2

T 2 = 0

Passo 2

Para as parcelas potenciais inicial e final, devemos considerar o efeito da gravidade e da mola. Temos que:

V 1 = m 1 g h 1 + 1 2 k x 1 2

No primeiro momento a posição incial é nula h 1 = 0 , portanto:

V 1 = 1 2 200 1,2 - 0,6 2

V 1 = 36

Já no segundo momento, temos que:

V 2 = m 2 g h 2 + 1 2 k x 2 2

Analisando o aspecto geometrico, podemos inferir que:

V 2 = 1 2 200 1,2 + 1,8 sin ⁡ θ - 0,6 2 + 25 9,81 - 1,8 2 sin ⁡ θ

V 2 = 100 ( 0,6 ) 3 sin ⁡ θ + 1 2 - 220,725 sin ⁡ θ

Passo 3

Agora que sabemos todas as parcelas de energia, é só colocar na equação de conservação de energia e correr para o abraço.

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

54 + 36 = 100 ( 0,6 ) 3 sin ⁡ θ + 1 2 - 220,725 sin ⁡ θ

1,5 = 3 sin ⁡ θ + 1 2 - 3,68 sin ⁡ θ

9 sin 2 ⁡ θ + 6 sin ⁡ θ + 1 - 1,5 - 3,68 sin ⁡ θ = 0

9 sin 2 ⁡ θ + 2,32 sin ⁡ θ - 0,5 = 0

Por baskara, temos que:

sin ⁡ θ = - 0,39752

θ = 23,42 °

Resposta

θ = 23,42 °

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