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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 12

No instante mostrado, o motor gira em torno do eixo z com uma velocidade angular ω 1 = 3   m / s e aceleração angular ω ˙ 1 = 1,5   r a d / s 2 . Simultaneamente, o eixo O A gira com uma velocidade angular ω 2 = 6   r a d / s e aceleração angular de ω ˙ 2 = 3   r a d / s 2 , e o anel C desliza ao longo da barra A B com velocidade e aceleração de 6   m / s e 3   m / s 2 . Determine a velocidade e a aceleração do anel C nesse instante.

Passo 1

O sistema cartesiano rotativo x y z é ajustado ao sistema fixo X Y Z , em que a sua origem é o ponto A , conforme mostrado abaixo.

Dessa forma, a velocidade e a aceração angular em relação ao sistema X Y Z são iguais a

ω = ω 1 = 3 k r a d / s

E

ω ˙ = 1,5 k r a d / s 2

Passo 2

Uma vez que o ponto A gira em torno do eixo Z e r O A = 0,3 j   m , então, a velocidade será

v A = ω 1 × r O A = 3 k × 0,3 j = - 0,9 i   m / s

E a aceleração no ponto A é igual a

a A = ω ˙ × r O A + ω × ( ω × r O A )

a A = 1,5 k × 0,3 j + 3 k × [ 3 k × ( 0,3 j ) ]

a A = - 0,45 i - 2,7 j   m / s 2

Passo 3

Como mostrado no dcl (passo 1), Para calcular o movimento de C em relação ao ponto A , é necessário estabelecer um sistema rotativo x ' y ' z ' , o qual coincidirá com o sitema x y z no instante considerado. Assim, a velocidade e aceleração de C em relação A serão

( v C / A ) x y z = ( r ˙ C / A ) x y z = [ ( r ˙ C / A ) x ' y ' z ' + ω 2 × ( r C / A ) x ' y ' z ' ]  

( v C / A ) x y z = - 6 k + 6 j × ( - 0,3 k )

( v C / A ) x y z = - 1,8 i - 6 k m / s

( a C / A ) x y z = ( r ¨ C / A ) x y z = [ ( r ¨ C / A ) x ' y ' z ' + ω 2 × ( r ˙ C / A ) x ' y ' z ' ] + ω ˙ 2 × ( r C / A ) x y z + ω 2 × ( r ˙ C / A ) x y z  

( a C / A ) x y z = [ - 3 k + 6 j × - 6 k ] + 3 j × - 0,3 k + 6 j × ( - 1,8 i - 6 k )

( a C / A ) x y z = - 72,9 i + 7,8 k m / s 2

Passo 4

Assim, a velocidade e aceleração no ponto C serão iguais a

v C = v A + ω 1 × r C / A + ( v C / A ) x y z

v C = - 0,9 i + 3 k × - 0,3 k + - 1,8 i - 6 k

v C = - 2,7 i - 6 k   m / s

E

a C = a A + ω ˙ 1 × r C / A + ω 1 × ( ω 1 × r C / A ) + 2 ω 1 × ( v C / A ) x y z + ( a C / A ) x y z

a C = - 0,45 i - 2,7 j + 1,5 k × - 0,3 k + 3 k × 3 k × - 0,3 k + 2 3 k × - 1,8 i - 6 k + ( - 72,9 i + 7,8 k )

a C = - 73,35 i - 13,5 j + 7,8 k   m / s 2

Resposta

Portanto, a velocidade e a aceleração no ponto C são iguais a - 2,7 i - 6 k   m / s e - 73,35 i - 13,5 j + 7,8 k   m / s 2   .

.

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