Localize o centro de massa da casca homogênea, em formato de sino, de espessura uniforme, mas desprezível.
Passo 1
Primeiramente, pela simetria em torno do eixo , vemos que o centro de massa deve estar sobre esse eixo. Devemos então calcular só a coordenada do CM. Vamos dividir o sino fazendo cortes perpendiculares ao eixo de simetria, formando círculos com centro no eixo, e raios que tem tamanho indo de zero, quando até , quando . A coordenada do CM será dada por:
Passo 2
Olhando perpendicularmente ao plano , vamos centrar um círculo em , , com raio , e variar o ângulo em relação ao eixo de 0 a , como mostra a figura:
O raio em função de do círculo que compõe o sino é . A largura infinitesimal do círculo é . Então a área é:
E a coordenada é:
Passo 3
Vamos então calcular a integral :
Usamos agora que
Passo 4
Agora vamos calcular a massa da casca .
Passo 5
Finalmente, dividimos as duas integrais para obter :