Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 3
Determine a distância até o centro de massa da barra homogênea encurvada na forma mostrada. Se a barra tem uma massa por unidade de comprimento de determine as reações no apoio fixo .
Passo 1
Seja um diferencial de comprimento que vamos destacar nessa barra em formato parabólico aqui.
Podemos escrever da seguinte maneira:
Mas quem é ? Podemos escontrar esse valor a partir da equação que define o formato do arco! Sabemos que . Vamos isolar a variável e derivar em relação a .
Tendo esse resultado em mãos, vamos substituí-lo na equação de :
Passo 2
O comprimento da barra pode ser obtido a partir da integração de ! Vamos escrever a expressão para calcular .
Passo 3
O centroide do elemento representar o centro geométrico de um corpo, que coindice com o centro de massa ou centreo de gravidade se o material que compõe o corpo for uniforme ou homogêneo. Assim, o centroide desse corpo está localizado em e .
Vamos resolver a integral do numerador!
Voltando a expressão do com esse resultado, temos:
Passo 4
Quermeos saber as reações de apoio no ponto , certo? Antes de partir para as contas, vamos dar uam olhada no diagrama de corpo livre dessa situação:
Para um sistema em equilíbrio, o somatório de forças nos eixos de referência é igual a zero. A mesma coisa vale para o somatório dos momentos em relação a um ponto. Adotando como sentido positivo para cima e para direita e o sentido anti-horário para o momento, temos:
Resposta
A reações no apoio fixo são: