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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 24

Localize o centroide ( overset(-)(x) , overset(-)(y) ) da área.

Passo 1

Vamos tomar nosso elemento diferencial como a área em cinza mostrada na figura:

Essa área é dada por:

d A = y ⅆ x

Colocando nossa função em relação a x temos y = 3 (1 - x^2) , nosso d A fica:

d A = 3 (1 - x^2) d x

Para o centroide do nosso elemento diferencial, em overset(-)(x) temos o próprio overset(-)(x) = x . Enquanto que para overset(-)(y) :

overset(-)(y) = (y)/(2)

overset(-)(y) = (1)/(2) 3 (1 - x^2)

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = int_A ⅆ A

A = int_0^1 (3 (1 - x^2)) ⅆ x = [3 x - (3)/(3) x^3]_0^1 = 2 m^2

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide overset(-)(x) :

overset(-)(x) = (int_A overset(-)(x) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(x) = (int_0^1 x (3 (1 - x^2)) ⅆ x)/(2) = ([(3)/(2) x^2 - (3)/(4) x^4]_0^1)/(2) = (3)/(8) m

E para nosso centroide overset(-)(y) :

overset(-)(y) = (int_A overset(-)(y) ⅆ A)/(int_A ⅆ A)

overset(-)(y) = (int_0^1 (1)/(2) 3 (1 - x^2) (3 (1 - x)) ⅆ x)/(2) = ((9)/(2) [x - (2 x^3)/(3) + (x^5)/(5)]_0^1)/(2) = (6)/(5) m

Resposta

overset(-)(x) = (3)/(8) m

overset(-)(y) = (6)/(5) m

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