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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 17

Localize o centroide da área sombreada.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas overset(-)(x) e overset(-)(y) do centroide da área sombreada.

Então bora resolver! Lembrando que neste caso estamos lidando com uma área e as fórmulas gerais para determinar as coordenadas do centroide de uma área são:

overset(-)(x) = (int x_c d A)/(A)

overset(-)(y) = (int y_c d A)/(A)

Passo 2

Vamos começar então definindo a área da porção sombreada da figura, para isso temos que:

x = a (1 - (y^2)/(b^2))

Logo:

A = int d A = int x d y

A = int_0^b a (1 - (y^2)/(b^2)) d y

A = [a (y - (y^3)/(3 b^2))]_0^b

A = a (b - (b^3)/(3 b^2))

A = (2 a b)/(3)

Passo 3

Show de bola! Feito isso, vamos analisar a porção infinitesimal destacada em vermelho:

Onde a área infinitesimal é dada por:

d A = x d y

d A = a (1 - (y^2)/(b^2)) d y

Vamos começar pela coordenada overset(-)(x) do centroide. Para isso, temos que:

x_c = (x)/(2)

Substituindo todos os termos na equação de overset(-)(x) do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

overset(-)(x) = (int x_c d A)/(A)

overset(-)(x) * A = int_0^b (x)/(2) x d y

overset(-)(x) * A = (1)/(2) int_0^b x^2 d y

overset(-)(x) * A = (1)/(2) int_0^b [a (1 - (y^2)/(b^2))]^2 d y

overset(-)(x) * A = (a^2)/(2) int_0^b (1 - (2 y^2)/(b^2) + (y^4)/(b^4)) d y

overset(-)(x) * A = (a^2)/(2) [y - (2 y^3)/(3 b^2) + (y^5)/(5 b^4)]_0^b

overset(-)(x) * A = (a^2)/(2) (b - (2 b^3)/(3 b^2) + (y^5)/(5 b^4))

overset(-)(x) = (a^2)/(2) * (8 b)/(15) * (3)/(2 a b)

overset(-)(x) = (2 a)/(5)

Passo 4

Olhando esse tanto de conta parece coisa de outro mundo, mas no final prometo que vai dar tudo certo. Bora continuar!

Agora vamos analisar a coordenada overset(-)(y) do centroide. Onde:

y_c = y

Substituindo todos os termos na equação de overset(-)(y) do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

overset(-)(y) = (int y_c d A)/(A)

overset(-)(y) * A = int_0^b y x d y

overset(-)(y) * A = int_0^b y a (1 - (y^2)/(b^2)) d y

overset(-)(y) * A = a int_0^b y - (y^3)/(b^2) d y

overset(-)(y) * A = a [(y^2)/(2) - (y^4)/(4 b^2)]_0^b

overset(-)(y) * A = a ((b^2)/(2) - (b^4)/(4 b^2))

overset(-)(y) = a * (b^2)/(4) * (3)/(2 a b)

overset(-)(y) = (3 b)/(8)

É isso, galera. Partiu pra próxima!

Resposta

overset(-)(x) = (2 a)/(5)

overset(-)(y) = (3 b)/(8)

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