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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 39

Localize o centroide y - do sólido homogêneo formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y .

Passo 1

Olha aí pra figura! O centro de massa desse sólido está sobre o eixo y , pela simetria! Vamos dividir o sólido em vários disquinhos paralelos à base. O centro de massa de cada um desses disquinhos está a uma distância y da origem, e o raio do disco é z . Primeiro vamos calcular o volume de cada disquinho:

V = π z 2 d y

Da figura a gente consegue relacionar y e z :

z 2 + y 2 = 9

z 2 = 9 - y 2

E aí vai ficar:

V = π ( 9 - y 2 ) d y

Passo 2

Agora pra achar o centroide a gente vai usar a formulinha de sempre!

y - = ∫ y - d V ∫ d V

y - = ∫ y - π ( 9 - y 2 ) d y ∫ π ( 9 - y 2 ) d y

y - = ∫ 9 y - y 3 d y ∫ 9 - y 2 d y

y - = 9 y 2 2 - y 4 4 3 5 9 y - y 3 3 3 5

Passo 3

Aí é só substituir os limites de integração!

y - = 9 y 2 2 - y 4 4 3 5 9 y - y 3 3 3 5

y - = 9 5 2 2 - 5 4 4 - 9 3 2 2 - 3 4 4 9 5 - 5 3 3 - 9 3 - 3 3 3

y - = 4.36   m

Resposta

y - = 4.36   m

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