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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 9.Problemas fundamentais - Ex. 2

Determine o centróide ( overset(-)(x) , overset(-)(y) ) da area sombreada.

Passo 1

O nosso primeiro passo aqui é calcular a área da região sombreada.

Sabendo que d A = y d x , vamos ter que:

A = int d A -> A = int (y d x)

Sabendo que y é igual a:

y = x^3

Vamos substituir isso dentro da nossa integral e resolver sabendo que x varia de zero até 1 :

A = int_0^1 x^3 d x

A = [(x^4)/(4)]_0^1 = (1)/(4)

Passo 2

Agora vamos encontrar o overset(-)(x) . Para isso, usamos:

overset(-)(x) = (int x d A)/(A)

O x dentro dessa integral indica a distância horizontal de cada retângulo infinitesimal que criamos até o nosso eixo. Assim,

overset(-)(x) = (int x d A)/(A)

overset(-)(x) = (int x (y d x))/(A)

overset(-)(x) = (int x x^3 d x)/(A)

Vamos resolver a integral que está no numerador!

int_0^1 x^4 d x = [(x^5)/(5)]_0^1 = (1)/(5)

Por fim, temos:

overset(-)(x) = ((1)/(5))/((1)/(4)) = (1)/(5) * 4 = (4)/(5)

Passo 3

Agora vamo calcular overset(-)(y) .

overset(-)(y) = (int y d A)/(A)

O y é a distância vertical de cada retângulo infinitesimal até o eixo horizontal, ou seja y // 2 . Sabendo que d A = y d x e y = x^3 , temos que:

overset(-)(y) = (int y d A)/(A) -> overset(-)(y) = (int ( (y)/(2) ) y d x)/(A)

overset(-)(y) = (int ((x^3)/(2)) x^3 d x)/(1 // 4)

Vamos, novamente, resolver só a parte de cima da equação e sabendo que x varia de zero até um, temos:

int_0^1 (x^6)/(2) d x = (1)/(2) [(x^7)/(7)]_0^1 = (1)/(14)

Pronto! Agora podemos achar overset(-)(y) sabendo que já calculamos a àrea desta figura no passo 1:

overset(-)(y) = (int y d A)/(A) -> overset(-)(y) = ((1)/(14))/((1)/(4)) = (1)/(14) * 4 = (2)/(7)

Resposta

O centróide é:

overset(-)(x) = (4)/(5)

overset(-)(y) = (2)/(7)

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