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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 9.Problemas fundamentais - Ex. 5

Localize o centroide y - do sólido homogêneo formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y .

Passo 1

O nosso primeiro passo aqui é calcular o volume da região sombreada.

Um elemento com a forma de um disco fino foi escolhido. Esse elemento tem espessura d y , intercepta a curva de geração no ponto arbitrário 0 , y , z e, portanto, seu raio é r = z . Sabendo que o volume do elemento é d V = ( π z 2 ) d y e o seu centroide está localizado em y ~ = y :

y - = ∫ y d V ∫ d V

Vamos tratar primeiro a parte de cima da equação!

∫ y d V = ∫ 0 1 y π z 2 d y

∫ 0 1 y π 1 4 y d y = π 4 ∫ 0 1 y 2 d y

π 4 y 3 3 0 1 = π 4 ⋅ 1 3 3

Passo 2

Nesse segundo momento, vamos calcular o valor para ∫ d V .

∫ d V = ∫ 0 1 π z 2 d y

∫ d V = π ∫ 0 1 1 4 y d y

∫ d V = π 4 ∫ 0 1 y d y = π 4 y 2 2 0 1

∫ d V = π 4 ⋅ 1 2 2

Passo 3

Por último, vamos agora calcular o valor do y - !

y - = π 4 ⋅ 1 3 3 π 4 ⋅ 1 2 2

y - = 1 3 ⋅ 2 1 = 0,667   m m

y - = 0 , 667   m m

Resposta

O valor de y - é:

y - = 0,667   m m

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