Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 9.Problemas fundamentais - Ex. 4

Localize o centro de massa da barra reta se sua massa por unidade de comprimento for dada por .

Passo 1

Fala! Ele nos dá uma barra fina, que a gente pode entender como só tendo como medida significativa o comprimento. Mas ele diz que a massa dela varia ao longo de e pede o centro de massa.

Cara, como essa massa varia ao longo de com essa função diferentona, a gente vai precisar usar a fórmulinha para achar centros de massa que usa integral.

O centro de massa de um corpo tridimensional pode ser calculado da seguinte forma:

Mas como a gente considera que nosso corpo só tem comprimento, só precisamos de

Aí a ideia aqui é montar e calcular essas duas integrais, tá bem? Bora ver como fica!

Passo 2

Precisamos começar achando . Como? Cara, a gente vai escolher um pedacinho bem pequeno da nossa barra, de comprimento , que vamos chamar de elemento diferencial. Esse elemento tem a massa pequena, diferencial, . Olha ele:

Aí te pergunto: qual é a massa desse carinha? Lembra que ele nos dá a massa por comprimento:

Lembra que massa dividido por volume era densidade em 3D? Para corpos lineares, como o nosso, se a gente divide massa por comprimento, temos uma densidade linear. Então essa expressão que ele nos deu é a densidade linear da barrinha.

E olha que interessante, se a gente multiplicar a densidade linear (quando ela é constante) pelo comprimento, a gente acha a massa! E como é bem pequeno, a gente pode considerar que nossa densidade é constante nesse pedacinho. Aí a massa de é: