A massa m de uma gota de chuva aumenta conforme ela assimila umidade durante a sua descida vertical através do ar parado. Se a resistência do ar ao movimento da gota é R e sua velocidade para baixo é v , escreva a equação do movimento para a gota e mostre que a relação ∑ F = d ( m v ) / d t é obedecida como um caso especial da equação de massa variável.

Passo 1

Temos duas forças externas agindo sobre a gota: a resistência do ar e o próprio peso da gota, então:

∑ F = m v ˙ + m ˙ u

m g - R = m v ˙ + m ˙ u

E aqui definimos o sentido positivo como sendo vertical para baixo.

Se a umidade que a gota “encontra” pelo caminho estava “parada” no ar, e depois passa a se mover junto com a gota, a velocidade com que a massa extra entra no sistema é a mesma da própria gota:

u = v

m g - R = m a + m ˙ v

E essa é a equação dinâmica que define o movimento da gota.

Passo 2

Podemos mostrar que essa relação obedece a seguinte relação:

∑ F = d m v d t

Porque quando aplicamos a regra do produto a essa derivada:

∑ F = m ˙ v + m v ˙

E quando reescrevemos as variáveis:

∑ F = m a + m ˙ v

Que é justamente a equação que encontramos ali em cima.

Resposta

A equação para o movimento da gota é m g - R = m a + m ˙ v .

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