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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 15

15- A massa por unidade de comprimento da barra esbelta varia com a posição de acordo com ρ = ρ 1 - x 2 , onde x está em metros. Determine a localização do centro de massa da barra.

Passo 1

Para calcular o centro de massa de um objeto não é muito diferente de calcular o centro de área:

x - = ∫ x   d m ∫ d m                             y - = ∫ y   d m ∫ d m

E uma vez que a barra é esbelta, logo presume-se que ela não possui área muito menos volume logo sua densidade ρ será de:

ρ = m L

m = ρ L

d m = ρ   d L

Como a variação do comprimento da barra for dada como 1 - x 2 logo:

d m = ρ 1 - x 2 d x

Agora calculando sua massa teremos:

∫ d m = ∫ 0 1 ρ 1 - x 2 d x = ρ x - x 2 4 0 1 = ρ 1 - 1 4 = 3 ρ 4

Passo 2

Como não possui área e não é uma região, logo o x médio dessa barra será o próprio x .

∫ x   d m = ∫ 0 1 x   ρ 1 - x 2 d x = ρ ∫ 0 1 x - x 2 2 d x

Fazendo a integral teremos:

ρ x 2 2 - x 3 6 0 1 = ρ 1 2 - 1 6 = ρ 3 - 1 6 = ρ 3

Passo 3

Logo x - será:

x - = ∫ x   d m ∫ d m = ρ 3 3 ρ 4 = 4 9

Como a medida está em metros logo a resposta terá unidade.

Resposta

x - = 4 9   m

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